Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determine a quantidade de números racionais [tex]r[/tex], com [tex]0 \lt r \lt 1[/tex], tal que, quando [tex] r[/tex] é escrito como uma fração irredutível, o numerador e o denominador somam [tex]1000[/tex].
Solução
Inicialmente, veja que o conjunto de números racionais que nos interessa vai desde o [tex]\frac{1}{999}[/tex] até o [tex]\frac{499}{501}[/tex] e cada número quando escrito em termos irredutíveis terá os seus respectivos numerador e o denominador somando [tex]1000[/tex].
Note também que, sendo [tex]r=\frac{n}{m}[/tex] uma fração irredutível que respeita o enunciado, temos
[tex]\qquad \qquad \frac{n}{m} =\frac{1000-m}{m}=\frac{1000}{m}-1[/tex].
Mas, observe que
- [tex]\frac{n}{m}[/tex] é irredutível se, e somente se, [tex]\frac{1000}{m}[/tex] é irredutível;
- [tex]\frac{1000}{m}[/tex] é irredutível se, e somente se, [tex]m[/tex] não é divisível por [tex]2[/tex] ou [tex]5[/tex];
assim, o problema se reduz em encontrar os inteiros entre [tex]501[/tex] e [tex]999[/tex], inclusive, que não são divisíveis por [tex]2[/tex] ou [tex]5[/tex].
Agora, veja que existem [tex]\boxed{499}[/tex] números entre [tex]501[/tex] e [tex]999[/tex]; e, além disso,
- existem [tex]\boxed{249}[/tex] números divisíveis por [tex]2[/tex];
- existem [tex]\boxed{99}[/tex] números divisíveis por [tex]5[/tex];
- existem [tex]\boxed{49}[/tex] números divisíveis por [tex]10[/tex].
Portanto, pelo Princípio da inclusão e exclusão, nós temos [tex]\boxed{499-249-99+49=200}[/tex] números entre [tex]501[/tex] e [tex]999[/tex] que não são divisíveis por [tex]2[/tex] ou por [tex]5[/tex].
Pelo exposto, temos 200 números racionais que satisfazem as condições do problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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