Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Cada algarismo do número [tex]N[/tex], a partir do segundo, é uma unidade maior que o algarismo anterior.
Qual é a soma dos algarismos de [tex]9\times N \, [/tex]?
Solução
Vamos testar alguns exemplos. Seja [tex]S[/tex] a soma dos algarismos de [tex]9\times N[/tex].
- O primeiro exemplo que nos vem à mente, claro, é [tex]N=12[/tex]. Neste caso, [tex]9\times N=9\times 12=108[/tex] e [tex]S=9[/tex].
- Como um segundo exemplo, podemos considerar [tex]N=234[/tex]. Temos [tex]9\times N=2106[/tex] e [tex]S=9[/tex], também.
- Mais um, agora com [tex]N=34567[/tex]. Teremos [tex]9\times N=311103[/tex] e… [tex]S=9[/tex].
Incrível, não?
Mas como podemos provar que [tex]S=9[/tex] não é somente uma coincidência, mas um fato válido para qualquer [tex]N[/tex] nas condições dadas?
Vejamos.
Vamos chamar de [tex]a[/tex] o primeiro algarismo de [tex]N[/tex], sendo [tex]a+k[/tex] o último. Note que, então, [tex]N[/tex] terá [tex]k+1[/tex] algarismos. Além disso, como [tex]a+k[/tex] é um algarismo, temos [tex]a+k\le 9[/tex].
- No caso de [tex]N=12[/tex], temos [tex]a=1[/tex] e [tex]a+k=2[/tex] (então, [tex]k=1[/tex]).
- No caso de [tex]N=34567[/tex], temos [tex]a=3[/tex] e [tex]a+k=7[/tex] (neste caso, [tex]k=4[/tex]).
Vamos escrever [tex]N=a\,\,(a+1)\,\,\cdots(a+k-1)\,\,(a+k)[/tex] (Isso não é um produto, é apenas uma sequência de algarismos! Observe, por exemplo, que escrevemos [tex]12[/tex], não [tex]1\times2[/tex]).
Bom, note que [tex]9\times N=10\times N-N[/tex]. Além disso, [tex]10\times N=a\,\,(a+1)\,\,\cdots(a+k-1)\,\,(a+k)\,\,\,0[/tex].
É possível “armar” a subtração [tex]10\times N-N=9\times N[/tex]:
| [tex] – [/tex] | [tex]10 \times N[/tex] | [tex] – [/tex] | [tex] [/tex] | [tex]a[/tex] | [tex](a+1)[/tex] | [tex]\cdots[/tex] | [tex](a+k-1)[/tex] | [tex]\stackrel{a+k-1}{\cancel{(a+k)}}[/tex] | [tex] ^{1}0[/tex] | [tex][/tex] | [tex]N[/tex] | [tex][/tex] | [tex] [/tex] | [tex] [/tex] | [tex]a[/tex] | [tex]\cdots[/tex] | [tex](a+k-2)[/tex] | [tex](a+k-1)[/tex] | [tex](a+k)[/tex] |
| [tex] [/tex] | [tex]9\times N[/tex] | [tex][/tex] | [tex] [/tex] | [tex]a[/tex] | [tex]1[/tex] | [tex]\cdots[/tex] | [tex]1[/tex] | [tex]0[/tex] | [tex](10-a-k)[/tex] |
Logo,
[tex]\qquad \qquad \boxed{9\times N= a\underbrace{1\cdots1}_{(k-1)\,algarismos \ 1}0\,(10-a-k)}\qquad \qquad(*)[/tex]
e a soma de seus algarismos é
[tex]\qquad \qquad S=a+(k-1)\times1+0+(10-a-k)\\
\qquad \qquad S=a+k-1+10-a-k=10-1\\
\qquad \qquad S=\fbox{$9$}[/tex].
Vamos conferir a igualdade (*) com os exemplos que já realizamos.
- Para [tex]N=12[/tex], temos [tex]a=1, \, a+k=2[/tex], então [tex]k=1[/tex] e [tex](k-1)=0[/tex].
Logo, [tex]9\times N=9\times 12=a\underbrace{1\cdots1}_{0\,algarismos \ 1}0\,(10-a-k)=1\,0\,(10-1-1)=108[/tex]. - Para [tex]N=234[/tex], temos [tex]a=2, \, a+k=4[/tex], então [tex]k=2[/tex] e [tex](k-1)=1[/tex].
Logo, [tex]9\times N=9\times 234=a\underbrace{1\cdots1}_{1\,algarismo \ 1}0\,(10-a-k)=2\,1\,0\,(10-2-2)=2106[/tex]. - Para [tex]N=34567[/tex], temos [tex]a=3, \, a+k=7, \, k-1=3[/tex].
Logo, [tex]9\times N=9\times 34567=a\underbrace{1\cdots1}_{3\,algarismos \ 1}0\,(10-a-k)=3\,1\,1\,1\,0\,(10-7)=311103.[/tex]
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