Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
- Toda sequência de letras de uma palavra é dita anagrama dessa palavra.
Em quantos anagramas da palavra CORSA a letra O aparece antes da letra A?
Solução 1
- Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem percebemos que existem [tex]5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120[/tex] anagramas da palavra CORSA.
- Para cada anagrama em que a letra O aparece antes da letra A existe exatamente um anagrama em que a letra O aparece depois da letra A, obtido apenas pela troca de posição dessas letras.
Deste modo, a letra O aparece antes da letra A em metade dos anagramas, ou seja, em 60 anagramas.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Nos anagramas da palavra CORSA, há apenas duas possibilidades: ou a letra A vem antes da letra O, ou a letra O vem antes da letra A. Logo, a quantidade de anagramas em que o O aparece antes da letra A é a metade da quantidade total de anagramas da palavra CORSA.
Então vamos calcular o valor total de anagramas e dividi-lo por [tex]2[/tex] para chegar ao resultado final.
- Para sabermos quantos anagramas podemos formar com a palavra CORSA, podemos variar as cinco letras de lugar e formar vários anagramas, resultando em um caso de permutação simples:
[tex]\qquad P = 5! = 120[/tex] - Como dito anteriormente, devemos dividir o número total de anagramas ([tex]120[/tex]) por dois, ou seja, o número de anagramas em que o O aparece antes do A é [tex]120\div2 = 60[/tex].
Solução elaborada pelo COM 1uik.
Solução 3
Em [tex]60[/tex] anagramas, pois:
- Se A cair na última letra, teremos [tex]24[/tex] possibilidades;
- Se A cair na penúltima letra, teremos [tex]18[/tex] possibilidades;
- Se A cair na antepenúltima letra teremos [tex]12[/tex] possibilidades;
- Se A cair na segunda letra, teremos [tex]6[/tex] possibilidades.
No final, teremos [tex]24+18+12+6=60[/tex] possibilidades.
Solução elaborada pelo COM ESQUADRÃO MATEMÁTICO, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os COMs: 1uik; ESQUADRÃO MATEMÁTICO.