.Problema: Verdadeiro ou falso

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

(a) [tex](x + y)^2 = x^2 + y^2[/tex]

(b) [tex](x – y)^2 = x^2 – y^2[/tex]

(c) [tex](x + y) \cdot (x – y) = x^2 – y^2[/tex]

(d) [tex](1 + x) \cdot (1 + y) = 1 + xy[/tex]

(e) [tex]\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x + y}[/tex]

Solução

• Seguem contraexemplos dos itens (a), (b), (d) e (e), mostrando que os mesmos são falsos.
  (a) Para [tex]x = y = 1[/tex], temos [tex](1 + 1)^2 = 2^2 = 4[/tex] e [tex]1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2[/tex].
  (b) Para [tex]x = 2[/tex] e [tex]y = 1[/tex], temos [tex](2 – 1)^2 = 1^2 = 1[/tex] e [tex]2^2 – 1^2 = 4 – 1 = 3[/tex].
  (d) Para [tex]x = y = 1[/tex], temos [tex](1 + 1) \cdot (1 + 1) = 4[/tex] e [tex]1+1^2 = 2[/tex].
  (e) Para [tex]x = y = 1[/tex], temos [tex]\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 1 + 1 = 2[/tex] e [tex]\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}[/tex].
• Para provarmos que o item (c) é verdadeiro, não basta mostrar exemplos que o tornam verdadeiro. Assim, considere quaisquer números reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] e observe que:
  [tex](x + y) \cdot (x – y) = (x + y) \cdot x + (x + y) \cdot (- y)[/tex]
  [tex]= x \cdot x + y \cdot x + x \cdot (-y) + y \cdot (- y)[/tex]
  [tex]= x^2 + yx – xy – y^2[/tex]
  [tex]= x^2 – y^2[/tex]
  Logo, o item (c) é verdadeiro para quaisquer números reais e, portanto, verdadeiro para quaisquer números reais não nulos como pede no problema.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.