.Problema: Verdadeiro ou falso

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)


Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] números reais não nulos quaisquer.
Verifique quais dos itens a seguir são verdadeiros. Apresente provas para os itens verdadeiros e contraexemplos para os itens falsos.

(a) [tex](x + y)^2 = x^2 + y^2[/tex]

(b) [tex](x – y)^2 = x^2 – y^2[/tex]

(c) [tex](x + y) \cdot (x – y) = x^2 – y^2[/tex]

(d) [tex](1 + x) \cdot (1 + y) = 1 + xy[/tex]

(e) [tex]\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x + y}[/tex]

Solução


  • Seguem contraexemplos dos itens (a), (b), (d) e (e), mostrando que os mesmos são falsos.
    (a) Para [tex]x = y = 1[/tex], temos [tex](1 + 1)^2 = 2^2 = 4[/tex] e [tex]1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2[/tex].
    (b) Para [tex]x = 2[/tex] e [tex]y = 1[/tex], temos [tex](2 – 1)^2 = 1^2 = 1[/tex] e [tex]2^2 – 1^2 = 4 – 1 = 3[/tex].
    (d) Para [tex]x = y = 1[/tex], temos [tex](1 + 1) \cdot (1 + 1) = 4[/tex] e [tex]1+1^2 = 2[/tex].
    (e) Para [tex]x = y = 1[/tex], temos [tex]\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 1 + 1 = 2[/tex] e [tex]\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}[/tex].
  • Para provarmos que o item (c) é verdadeiro, não basta mostrar exemplos que o tornam verdadeiro. Assim, considere quaisquer números reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] e observe que:
    [tex](x + y) \cdot (x – y) = (x + y) \cdot x + (x + y) \cdot (- y)[/tex]
    [tex]= x \cdot x + y \cdot x + x \cdot (-y) + y \cdot (- y)[/tex]
    [tex]= x^2 + yx – xy – y^2[/tex]
    [tex]= x^2 – y^2[/tex]
    Logo, o item (c) é verdadeiro para quaisquer números reais e, portanto, verdadeiro para quaisquer números reais não nulos como pede no problema.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participaram da discussão os COMs LEAGUE OF MATH e 1uik.

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