.Problema de Gincana: Qual a idade?

Problema

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As idades de duas pessoas há oito anos estavam na razão de [tex]8[/tex] para [tex]11[/tex] e, agora, estão na razão de [tex]4[/tex] para [tex]5[/tex].
Qual a idade da mais velha atualmente?

Solução

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Sejam [tex]y[/tex] a idade atual da pessoa mais nova e [tex]x[/tex] a idade atual da pessoa mais velha. Assim:
[tex]\qquad\qquad\dfrac{y}{x}=\dfrac{4}{5}. \qquad \qquad{(i)}[/tex]
Mas, há oito anos, as idades dessas duas pessoas estavam na razão de [tex]8[/tex] para [tex]11[/tex], logo:
[tex]\qquad\qquad \dfrac{y-8}{x-8}=\dfrac{8}{11}. \qquad \qquad{(ii)}[/tex]
Isolando [tex]y[/tex] na equação [tex](i)[/tex] e substituindo na [tex](ii)[/tex], temos que:
[tex]\qquad\qquad \dfrac{\dfrac{4x}{5}-8}{x-8}=\dfrac{8}{11}[/tex],
donde
[tex]\qquad\ 11\times\left(\dfrac{4x}{5}-8\right)=8\times\left(x-8\right)[/tex]
[tex]\qquad 55\times\left(\dfrac{4x}{5}-8\right)=40\times\left(x-8\right)[/tex]
[tex]\qquad 44x-440=40x-320[/tex]
[tex]\qquad 4x=120[/tex]
[tex]\qquad x=30[/tex].
Portanto, a idade atual da mais velha é [tex]30[/tex] anos.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.