Problema
Um professor escreveu no quadro as quatro funções definidas a seguir.
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[tex]\qquad f_1:\mathbb{R}^*\rightarrow \mathbb{R}[/tex] [tex]\qquad f_1(x)=x + \dfrac{1}{x}[/tex] |
[tex]\qquad f_2:\mathbb{R}^*\rightarrow \mathbb{R}[/tex] [tex]\qquad f_2(x)=x^2[/tex] |
[tex]\qquad f_3:\mathbb{R}^*\rightarrow \mathbb{R}[/tex] [tex]\qquad f_3(x)=(x-1)^2[/tex] |
[tex]\qquad f_4:\mathbb{R}^*\rightarrow \mathbb{R}[/tex] [tex]\qquad f_4(x)=\dfrac{1}{x}[/tex] |
Em seguida, pediu para que os alunos realizassem determinadas operações com as expressões [tex]f_1(x), f_2(x)[/tex] e [tex]f_3(x)[/tex] de modo a obter [tex]f_4(x)[/tex].
As operações permitidas são:
- somar, subtrair e multiplicar as expressões (dividir não é permitido);
- elevar as expressões ao quadrado, ao cubo, etc.;
- multiplicar as expressões por números arbitrários;
- somar um número arbitrário às expressões;
- fazer as mesmas operações com as novas expressões obtidas.
Como é possível resolver o problema proposto?
Solução
[tex](1)[/tex] Observe, inicialmente, que
[tex]\qquad \qquad f_1(x)-x = x + \dfrac{1}{x}-x = \dfrac{1}{x} = f_4(x).\qquad \qquad (i)[/tex]
[tex](2)[/tex] Perceba também que [tex]f_3(x) = (x-1)^2 = x^2-2x + 1[/tex]; logo, subtraindo a expressão [tex]f_3(x)[/tex] da expressão [tex]f_2(x)[/tex], temos
[tex]\qquad \qquad f_2(x)-f_3(x) = x^2-(x^2-2x+1)=2x-1[/tex].
Com isso,
[tex]\qquad \qquad f_2(x)-f_3(x)+1= 2x-1+1=2x[/tex].
Multiplicando por [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] essa última igualdade, obtemos
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{2} \cdot (f_2(x)-f_3(x)+1)= \dfrac{1}{2} \cdot 2x=x. \qquad \qquad (ii)[/tex]
[tex](3)[/tex] De [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex], concluímos que
[tex]\qquad \qquad \boxed{f_4(x)=f_1(x)-\dfrac{1}{2} \cdot (f_2(x)-f_3(x)+1)}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.