Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
- Para quaisquer números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], temos que [tex]a \cdot b = b \cdot a[/tex]. Essa propriedade é conhecida como propriedade comutativa da multiplicação.
- Para quaisquer números reais [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex], temos que [tex]a\,\cdot \, (b + c) = ab + ac[/tex]. Essa propriedade é conhecida como propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
Utilize essas propriedades para provar que [tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex].
Solução
[tex]\boxed{(a+b)^2} = (a+b)\,\cdot \, (a+b)[/tex] (por definição de potência)
[tex]= (a+b)\, \cdot \, a \,+\, (a+b)\, \cdot \, b[/tex] (utilizamos a propriedade distributiva)
[tex]= a\, \cdot \, (a+b) \,+\, b\, \cdot \, (a+b)[/tex] (utilizamos a propriedade comutativa)
[tex]= a\, \cdot \, a \,+\, a\, \cdot \, b \, +\, b\, \cdot \, a \,+\, b\, \cdot \, b[/tex] (utilizamos a propriedade distributiva)
[tex]= a^2 \,+ ab \, +\, ba \,+\, b^2[/tex] (por definição de potência)
[tex]= a^2 \,+ ab \, +\, ab \,+\, b^2[/tex] (utilizamos a propriedade comutativa)
[tex]= \boxed{a^2 \,+ 2ab \,+\, b^2}[/tex]
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