Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Encontre triplas de números racionais [tex](a, b, c)[/tex] tais que [tex]\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}[/tex].
Solução
Sejam [tex]x=\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}[/tex] e [tex]y=\sqrt[3]{2}[/tex]. Então [tex]y^3=2[/tex] e [tex]x=\sqrt[3]{y-1}[/tex].
Note que [tex]1=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)[/tex], logo
[tex]\qquad \qquad y^2+y+1=\dfrac{3y^2+3y+3}{3}=\dfrac{y^3+3y^2+3y+1}{3}=\dfrac{(y+1)^3}{3}[/tex],
o que implica em
[tex]\qquad \qquad x^3=y-1=\dfrac{1}{y^2+y+1}=\dfrac{3}{(y+1)^3}[/tex]
donde
[tex]\qquad \qquad x=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{y+1} \qquad {(I)}[/tex].
Por outro lado,
[tex]\qquad \qquad 3=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1) [/tex]
e assim
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{y+1}=\dfrac{y^2-y+1}{3} \qquad{(II)}[/tex].
Combinando as equações [tex](I)[/tex] e [tex](II)[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \qquad x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{9}}(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1)=\sqrt[3]{\dfrac{4}{9}}-\sqrt[3]{\dfrac{2}{9}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{9}}[/tex].
Consequentemente, [tex](a, b, c)=\left(\dfrac{4}{9}, -\dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{9}\right)[/tex].
 |
Uma tripla foi encontrada! |
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.