.Problemão: Triplas de Racionais

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Solução

$\qquad \qquad y^2+y+1=\dfrac{3y^2+3y+3}{3}=\dfrac{y^3+3y^2+3y+1}{3}=\dfrac{(y+1)^3}{3}$,

o que implica em
$\qquad \qquad x^3=y-1=\dfrac{1}{y^2+y+1}=\dfrac{3}{(y+1)^3}$
donde
$\qquad \qquad x=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{y+1} \qquad {(I)}$.
Por outro lado,
$\qquad \qquad 3=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$
e assim
$\qquad \qquad \dfrac{1}{y+1}=\dfrac{y^2-y+1}{3} \qquad{(II)}$.
Combinando as equações $(I)$ e $(II)$, obtemos:

$\qquad \qquad x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{9}}(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1)=\sqrt[3]{\dfrac{4}{9}}-\sqrt[3]{\dfrac{2}{9}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{9}}$.

Consequentemente, $(a, b, c)=\left(\dfrac{4}{9}, -\dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{9}\right)$.

Uma tripla foi encontrada! Será que existem outras satisfazendo as condições do problemas?

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.