Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Seja [tex]\alpha[/tex] um número real tal que [tex]\alpha^3-\alpha-1=0[/tex].
Determine o valor numérico de [tex]\boxed{\sqrt[3]{3\alpha^2-4\alpha\,}+\alpha\sqrt[4]{2\alpha^2+3\alpha+2\,}\,}.[/tex]
Solução 1
Veja que [tex](\alpha-1)^3=\alpha^3-3\alpha^2+3\alpha-1[/tex]. Como [tex]\alpha^3-\alpha-1=0[/tex], temos que [tex]\alpha=\alpha^3-1[/tex].
Daí segue que
[tex]\qquad (\alpha-1)^3=(\alpha^3-1)-3\alpha^2+3\alpha=-3\alpha^2+4\alpha[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad -(\alpha-1)^3=3\alpha^2-4\alpha[/tex].
Podemos, também, escrever que:
[tex]\qquad \alpha\sqrt[4]{2\alpha^2+3\alpha+2}=\sqrt[4]{\alpha^4(2\alpha^2+3\alpha+2)}=\sqrt[4]{2\alpha^6+3\alpha^5+2\alpha^4}[/tex].
Como [tex]\alpha^3-\alpha-1=0[/tex], temos que [tex]\boxed{\alpha^3=\alpha+1}[/tex].
Então, segue que:
[tex]\qquad \begin{align*}2\alpha^6+3\alpha^5+2\alpha^4&=2(\alpha^3)^2+3\alpha^3\cdot\alpha^2+2\alpha^3\cdot\alpha\\
&= 2(\alpha+1)^2+3\alpha^2(\alpha+1)+2\alpha(\alpha+1)\\
&=(\alpha+1)\left[2(\alpha+1)+3\alpha^2+2\alpha\right]\\
& =(\alpha+1)(3\alpha^2+4\alpha+2)\,.\qquad\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\end{align*}[/tex]
Veja que [tex](\alpha+1)^3=\alpha^3+3\alpha^2+3\alpha+1[/tex]. Como [tex]\alpha^3=\alpha+1[/tex], então [tex]\boxed{(\alpha+1)^3=3\alpha^2+4\alpha+2}[/tex].
Assim, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], que:
[tex]\qquad \begin{align*}2\alpha^6+3\alpha^5+2\alpha^4 &=(a+1)(a+1)^3\\
&=(a+1)^4. \end{align*}[/tex]
Daí,
[tex]\quad \begin{align*}\sqrt[3]{3a^2-4a}+\alpha\sqrt[4]{2\alpha^2+3\alpha+2}&=\sqrt[3]{-(\alpha-1)^3}+\sqrt[4]{(\alpha+1)^4}\\
& =-\alpha+1+\alpha+1=2\,. \end{align*}[/tex]
Logo o valor da expressão é [tex]2[/tex].
Solução enviada pelo Clube Cromossomos Matemáticos.
Solução 2
Como [tex]\alpha^3-\alpha-1=0[/tex], temos que [tex]\boxed{\alpha=\alpha^3-1}[/tex], assim:
[tex]\quad\begin{align*} \sqrt[3]{3\alpha^2-4\alpha}&=\sqrt[3]{3\alpha^2-3\alpha-\alpha }\\
&=\sqrt[3]{3\alpha^2-3\alpha-(\alpha^3-1)}\\
&=\sqrt[3]{3\alpha^2-3\alpha-\alpha^3+1 }\\
&=\sqrt[3]{(1-\alpha)^3}\\
&=1-\alpha \;.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\end{align*}[/tex]
Agora, observando que [tex]\boxed{\alpha^3=\alpha+1}[/tex], a segunda parcela da soma a ser calculada pode ser simplificada assim:
[tex]\quad\begin{align*} \alpha\sqrt[4]{2\alpha^2+3\alpha+2}&= \alpha\sqrt[4]{\alpha^2+\alpha^2+\alpha+2\alpha+2}\\
&= \alpha\sqrt[4]{\alpha^2+\alpha^2+\alpha+2(\alpha+1)}\\
&= \alpha\sqrt[4] {\alpha^2+\alpha(\alpha+1)+2(\alpha+1)}\\
&= \alpha\sqrt[4] {\alpha^2+\alpha\alpha^3+2\alpha^3}\\
&=\alpha\sqrt[4]{\alpha^2+\alpha^4+2\alpha^3}\\
&=\alpha\sqrt[4]{(\alpha^3+\alpha^2)+(\alpha^4+\alpha^3)}\\
&= \alpha\sqrt[4]{\alpha^2(\alpha+1)+\alpha^3(\alpha+1)}\\
&= \alpha\sqrt[4]{\alpha^2 \alpha^3+\alpha^3\alpha^3~}\\
&= \alpha\sqrt[4]{\alpha^5+\alpha^6\;}\\
&=\alpha\sqrt[4]{\alpha^5(\alpha+1)\;}\\
&= \alpha\sqrt[4]{\alpha^8}\\
&=\alpha^3\\
&=\alpha+1\,.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}\end{align*}[/tex]
Deste modo, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que:
[tex]\quad\begin{align*}\sqrt[3]{3\alpha^2-4\alpha\,}+\alpha\sqrt[4]{2\alpha^2+3\alpha+2\,}&=\left(1-\alpha\right)+\left(\alpha+1\right)\\
&=1-\alpha+\alpha+1\\
&=2\;.\end{align*}[/tex]
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \sqrt[3]{3\alpha^2-4\alpha\,}+\alpha\sqrt[4]{2\alpha^2+3\alpha+2\,}=2$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.