.Problemão: Quadriláteros possíveis

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

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Para alguns números inteiros positivos [tex]p[/tex], existe um quadrilátero [tex]ABCD[/tex] tal que

• as medidas dos lados são inteiros positivos,
• o perímetro é [tex]p[/tex],
• os ângulos [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] são retos,
• [tex]AB=2[/tex],
• [tex]CD=AD[/tex].

Para quantos valores de [tex]p<2015[/tex] isso é possível?

Solução

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Suponha um quadrilátero [tex]ABCD[/tex] que satisfaça as condições do problema. Nesse caso, sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] inteiros positivos tais que [tex]BC = x[/tex] e [tex]CD = AD = y[/tex].
Inicialmente, considere o ponto [tex]E[/tex] de interseção da “reta que passa pelo ponto [tex]A[/tex] e é paralela ao segmento [tex]BC[/tex]” com a “reta determinada pelos pontos [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex]”. Observe que podemos ter três situações:

• [tex]E=D[/tex];
• o ponto [tex]D[/tex] está entre os pontos [tex]C[/tex] e [tex]E[/tex];
• o ponto [tex]E[/tex] está entre os pontos [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex].

A figura abaixo ilustra as três situações.

Analisemos cada uma.

	(1) Como [tex]AB=2[/tex], a geometria do problema garante que [tex]x=y=2[/tex]. Assim, o quadrilátero [tex]ABCD[/tex] é um quadrado e o perímetro [tex]p[/tex] correspondente é [tex]8[/tex].
	(2) Neste caso, a construção proposta garante que [tex]y\lt 2[/tex]. Por outro lado, a geometria do problema mostra que o triângulo [tex]ADE[/tex] é retângulo com hipotenusa [tex]y \, [/tex] e catetos [tex]x \, [/tex] e [tex] \, 2-y[/tex]. Dessa forma, [tex]2 \gt y \gt x \gt 0 \, [/tex] e [tex] \, x^2+(y-2)^2=y^2[/tex], donde [tex]0 \lt x \lt 2 \, [/tex] e [tex]y= \dfrac{x^2+4}{4}[/tex]. Como [tex]x[/tex] é um número inteiro, necessariamente [tex]x=1[/tex] e [tex] y= \dfrac{5}{4}[/tex]. Portanto, o quadrilátero [tex]ABCD[/tex] teria perímetro [tex]p=\dfrac{11}{2}[/tex], mas este é um caso que não satisfaz as hipóteses do problema, já que [tex]y[/tex] não é um número inteiro.
	(3) Esta é a situação mais geral: [tex]y\gt 2[/tex]. Como o triângulo [tex]AED[/tex] é retângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras obtemos [tex]x^2 + (y – 2)^2 = y^2[/tex]. Isolando [tex]y[/tex] nessa igualdade, obtemos [tex]y = \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 + 1[/tex]. Dessa forma, o perímetro [tex]p[/tex] do quadrilátero [tex]ABCD[/tex] pode ser escrito em função de [tex]x[/tex] como [tex]\qquad\qquad p = 2 + x + 2 \cdot \left( \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 + 1 \right) = \dfrac{x^2}{2} + x + 4[/tex].

Note que a análise geométrica da construção proposta no início desta solução mostrou três casos distintos: [tex]y= 2[/tex]; [tex]y\lt 2[/tex]; [tex]y\gt 2[/tex]. No entanto as conclusões algébricas [tex]\boxed{y = \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 + 1} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{p = \dfrac{x^2}{2} + x + 4}[/tex] obtidas no caso (3) fornecem, particularmente, os valores de [tex]y \, [/tex] e [tex] \, p[/tex] obtidos nos casos (1) e (2):

• se [tex]x=2[/tex], então [tex] y= 2[/tex] e [tex]p=8[/tex];
• se [tex]x=1[/tex], então [tex] y= \dfrac{5}{4}[/tex] e [tex]p=\dfrac{11}{6}[/tex].

Dessa forma, vamos continuar a solução do problema trilhando o caminho algébrico, utilizando, então, essas duas expressões para obter os valores de [tex]p[/tex] solicitados.
De [tex]y = \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 + 1 \, [/tex] podemos concluir que [tex]x[/tex] deve ser par, já que [tex]y[/tex] é inteiro; e como o problema estabelece que [tex] p \lt 2015[/tex], então

[tex]\qquad\qquad \dfrac{x^2}{2} + x + 4 \lt 2015[/tex],
donde
[tex]\qquad\qquad \dfrac{x^2}{2} + x – 2011 \lt 0[/tex]
ou, ainda,
[tex]\qquad\qquad x^2 + 2x – 4022 \lt 0.\qquad\qquad (i)[/tex]

Considerando a função [tex]f[/tex] definida por [tex]f(x) = x^2 + 2x – 4022[/tex], podemos resolver a inequação [tex] (i)[/tex] “estudando o sinal” da função [tex]f[/tex]. Para isso, observamos que o gráfico de [tex]f[/tex] é uma parábola, com concavidade voltada para cima e que intersecta o eixo horizontal do plano cartesiano nos pontos [tex](x_1 , 0)[/tex] e [tex](x_2 , 0)[/tex], sendo [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] os zeros da função [tex]f[/tex] e, portanto, as raízes da equação [tex] \, x^2 + 2x – 4022=0[/tex]. (Veja figura abaixo.)

Note que:

• [tex]x[/tex] é um número inteiro par que indica o comprimento de um dos lados do quadrilátero; logo, é positivo;
• [tex]x_2 = \dfrac{-2 + \sqrt{2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4022)}}{2} \approx 62,43[/tex];

assim, para resolvermos o problema, basta procurarmos os números pares do intervalo [tex]]0 , x_2[[/tex].
Observamos que há 31 valores possíveis para [tex]x[/tex]. Mas, para finalizarmos a solução, precisamos analisar os possíveis perímetros determinados por esses 31 valores. No entanto, isso é simples, já que o perímetro [tex]p[/tex] é dado em função de [tex]x[/tex], de modo crescente, no intervalo [tex]]0 , x_2[[/tex] (Verifique!). Portanto, os 31 valores de [tex]x[/tex] definem valores de [tex]p[/tex] distintos dois a dois.
Pelo exposto, há 31 valores possíveis de [tex]p[/tex] que satisfazem as exigências do problema.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Aparatos

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Para obter os 31 valores do perímetro que satisfazem
as condições do problema, clique no botão abaixo.