.Desafio: Quatro equações com raízes inteiras

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

• [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]
• [tex]ax^2+bx-c=0[/tex]
• [tex]ax^2-bx+c=0[/tex]
• [tex]ax^2-bx-c=0[/tex]

sejam números inteiros?

Solução

• [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são as raízes da equação [tex]\left(x-x_1\right) \, \left(x-x_2\right)=0[/tex]; ou seja,
  [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são as raízes da equação [tex]x^2-(x_1 + x_2)x+x_1 x_2=0[/tex];
• [tex]-x_1[/tex] e [tex]-x_2[/tex] são as raízes da equação [tex]\left(x+x_1\right) \, \left(x+x_2\right)=0[/tex]; ou seja,
  [tex]-x_1[/tex] e [tex]-x_2[/tex] são as raízes da equação [tex]x^2+(x_1 + x_2)x+x_1 x_2=0[/tex];
• [tex]x_1 + x_2 \, [/tex] e [tex] \, x_1 x_2[/tex] são números inteiros.

Dessa forma, se [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são números inteiros, então [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são as raízes da equação de coeficientes inteiros [tex]x^2-(x_1 + x_2)x+x_1 x_2=0[/tex], e, automaticamente, os números inteiros [tex]-x_1[/tex] e [tex]-x_2[/tex] são as raízes da equação [tex]x^2+(x_1 + x_2)x+x_1 x_2=0[/tex].
A partir dessa conclusão, podemos traçar um caminho que nos permitirá resolver o problema proposto:

encontrar números inteiros [tex]r_1, \, r_2, \, s_1, \, s_2[/tex] tais que [tex]r_1, \, r_2[/tex] sejam as raízes de uma equação da forma [tex]ax^2-bx+c=0,[/tex] com [tex]a, \, b, \, c \, [/tex] inteiros positivos e [tex]s_1, \, s_2[/tex] sejam as raízes da equação [tex]ax^2-bx-c=0[/tex].

Dessa forma, automaticamente, [tex]-r_1, \, -r_2[/tex] serão as raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] e [tex]-s_1, \, -s_2[/tex] serão as raízes da equação [tex]ax^2+bx-c=0[/tex]. Teremos, então, as equações
[tex]\qquad ax^2-bx+c=0[/tex] (equação 1);
[tex]\qquad ax^2-bx-c=0[/tex] (equação 2);
[tex]\qquad ax^2+bx+c=0[/tex] (equação 3);
[tex]\qquad ax^2+bx-c=0[/tex] (equação 4);
com raízes inteiras, conforme solicitado no problema.
Como [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] são as raízes da equação [tex]x^2-(r_1 + r_2)x+r_1 r_2=0 \, [/tex] e [tex]s_1[/tex] e [tex]s_2[/tex] são as raízes da equação [tex]x^2-(s_1 + s_2)x+s_1 s_2=0[/tex], devemos encontrar inteiros [tex]r_1, \, r_2, \, s_1, \, s_2[/tex] tais que [tex]r_1 + r_2=s_1 + s_2[/tex] e [tex]r_1 r_2=-s_1 s_2[/tex]. Para que [tex]b= r_1 + r_2[/tex] e [tex]c=r_1 r_2[/tex] sejam positivos, basta tomarmos [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] positivos.
Para encontrarmos números inteiros [tex]r_1, \, r_2, \, s_1, \, s_2[/tex] satisfazendo as condições exigidas, faremos o seguinte procedimento:

(1) Para cada número natural não nulo [tex]n[/tex] faremos, se possível, a sua decomposição em diferentes produtos de dois fatores inteiros positivos, [tex]n=n_in_j \, [/tex]. Para facilitar o passo seguinte, consideraremos [tex]n_i \le n_j \, [/tex].
(2) Para cada duas decomposições distintas, digamos [tex]n=n_t n_k \, [/tex] e [tex] \, n=n_m n_h[/tex], observaremos se [tex]n_k + n_t=n_h-n_m[/tex] ou [tex]n_h + n_m=n_k-n_t[/tex].
– se [tex]n_k + n_t=n_h-n_m[/tex], então podemos tomar [tex]r_1=n_k, \, r_2=n_t, \, s_1=n_h, \, s_2=-n_m[/tex];
– se [tex]n_h + n_m=n_k-n_t[/tex], então podemos tomar [tex]r_1=n_h, \, r_2=n_m, \, s_1=n_k, \, s_2=-n_t[/tex].
(3) No momento que conseguirmos uma resposta positiva para o item anterior o problema estará resolvido! Mas observe que o passo (2) não pode ser aplicado quando [tex]n[/tex] for um número primo, pois nesses casos só existe uma decomposição de [tex]n[/tex] nas condições de (1): [tex]n= 1n[/tex].

À primeira vista parece complicado; mas não é. Observe alguns exemplos abaixo.

1)

Conclusão: Para [tex]n=4[/tex] não temos a situação descrita no passo (2).

2)

Conclusão: Para [tex]n=6[/tex] temos a situação descrita no passo (2). Assim:

• [tex]r_1=3; \, r_2=2; \, s_1=6; \, s_2=-1;[/tex]
• equação 1: [tex] x^2-5x+6; \, \, \, \, \, \, \, [/tex] equação 2: [tex] x^2-5x-6; \, \, \, \, \, \, \, [/tex] equação 3: [tex] x^2+5x+6; \, \, \, \, \, \, \, [/tex] equação 4: [tex] x^2+5x-6. \, \, \, \, \, \, \, [/tex]
• soluções da equação 1: 2 e 3;
  soluções da equação 2: -1 e 6;
  soluções da equação 3: -2 e -3;
  soluções da equação 4: 1 e -6.

3)

Conclusão: Para [tex]n=18[/tex] não temos a situação descrita no passo (2).

4)

Conclusão: Para [tex]n=24[/tex] temos a situação descrita no passo (2). Assim:

• [tex]r_1=6; \, r_2=4; \, s_1=12; \, s_2=-2;[/tex]
• equação 1: [tex] x^2-10x+24; \, \, \, \, \, [/tex] equação 2: [tex] x^2-10x-24; \, \, \, \, \, [/tex] equação 3: [tex] x^2+10x+24; \, \, \, \, \, [/tex] equação 4: [tex] x^2+10x-24.[/tex]
• soluções da equação 1: 4 e 6;
  soluções da equação 2: -2 e 12;
  soluções da equação 3: -4 e -6;
  soluções da equação 4: 2 e -12.

Portanto, existem números inteiros positivos que satisfazem as condições do problema. Por exemplo:
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \boxed{a=1, \, b=5, \, c=6} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, [/tex]e [tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \boxed{a=1, \, b=10, \, c=24}[/tex].
Além desse dois exemplos, existem outros.

Que tal procurar mais exemplos considerando [tex]n[/tex] com dois dígitos?

Para quem aceitou o convite, este texto pode ser útil!

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