Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Resolva a equação
[tex] (x + 1)^{63} + (x + 1)^{62} (x – 1) + (x + 1)^{61} (x – 1)^2 + \ldots + (x + 1) (x – 1)^{62} +(x – 1)^{63} = 0.[/tex]
Solução
Multiplicando ambos os membros da equação dada por [tex](x + 1)-(x-1)[/tex] obtemos uma equação equivalente, já que essa expressão vale [tex]2[/tex]:
[tex]\;(x + 1)^{63} + (x + 1)^{62} (x-1) + (x + 1)^{61} (x – 1)^2 + \ldots + (x – 1)^{63} = 0[/tex]
[tex]\qquad \Leftrightarrow \left((x + 1)-(x-1) \right) \cdot \left( (x + 1)^{63}+(x + 1)^{62} (x-1)+(x + 1)^{61} (x-1)^2+\ldots \\
\qquad \ldots +(x-1)^{63} \right) = 0 \cdot \left((x + 1)-(x-1) \right)[/tex]
[tex]\qquad \Leftrightarrow \left((x + 1)-(x-1) \right) \cdot \left( (x + 1)^{63}+(x + 1)^{62} (x-1)+(x + 1)^{61} (x-1)^2+\ldots\\
\qquad \ldots +(x-1)^{63} \right) = 0\,. \qquad\qquad (i)[/tex]
Lembre que
[tex]\qquad (a – b) \cdot (a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + b^{n-1}) = a^n – b^n[/tex],
portanto, utilizando essa identidade para [tex]a = x + 1[/tex], [tex]b = x – 1[/tex] e [tex]n = 64[/tex] na equação [tex](i)[/tex] temos:
[tex]\qquad (x + 1)^{64} – (x – 1)^{64} = 0[/tex]
donde
[tex]\qquad (x + 1)^{64} = (x – 1)^{64}[/tex]
e, então,
[tex]\qquad |x + 1| = |x – 1|\,.\qquad \qquad (ii)[/tex]
Como [tex]x + 1 \neq x – 1[/tex] para todo [tex]x[/tex], segue, de [tex](ii)[/tex], que [tex] x+1 = 1-x [/tex] e com isso [tex] x = 0\,.[/tex]
A resolução é não trivial, mas a única raiz é a trivial!
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.