Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Quais são os números naturais de dois algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos?
Solução
Considere um número natural cujos algarismos das dezenas e das unidades sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], respectivamente, com [tex]a\ne 0[/tex]. Deste modo, tal número pode ser representado por
[tex]\qquad 10 \cdot a + b[/tex]
e, utilizando a hipótese, temos que
[tex]\qquad 10 \cdot a + b = 2 \cdot a \cdot b \, [/tex].
Assim,
[tex]\qquad b= 2\cdot a \cdot b-10 \cdot a \, [/tex],
donde
[tex]\qquad b= 2 \cdot a \cdot (b-5)[/tex]. [tex]\qquad\qquad (i)[/tex]
Lembrando que [tex]a, \, b \in \left\{0, \, 1 \, ,2 \, ,3 \, ,4 \, ,5 \, ,6 \, ,7 \, ,8 \, ,9 \right\}[/tex] e [tex]a\ne 0[/tex], podemos concluir de [tex] \, (i) \, [/tex] que:
- [tex] \, b \, [/tex] é par; pois [tex]b[/tex] é múltiplo de [tex]2[/tex].
- [tex] \, b-5 \ge 0[/tex]; já que [tex] \, a\gt 0[/tex] e [tex] \, b\ge 0[/tex].
Como [tex] \, b \, [/tex] é um número par tal que [tex]5\le b\le 9[/tex], temos as seguintes possibilidades: [tex]b = 6[/tex] ou [tex]b = 8[/tex]. Vamos analisá-las:
- Se [tex]b = 6[/tex], por [tex](i)[/tex], segue que [tex]6= 2 \cdot a \cdot (6-5)[/tex], ou seja, [tex]2 \cdot a =6 \, [/tex] e [tex] \, a = 3[/tex].
- Se [tex]b = 8[/tex], também por [tex](i)[/tex], segue que [tex]8= 2 \cdot a \cdot (8-5)[/tex], ou seja, [tex]6 \cdot a =8 \, [/tex] e [tex] \, a = \dfrac{4}{3}[/tex], o que é impossível!
Logo, o número [tex]36[/tex] é o único que atende às condições do problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.