.Problema: Somando raízes

Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)


A soma de duas raízes da equação [tex]x^3-503x^2+(a+4)x-a=0[/tex] é igual a 4.
Determine, nesse caso, o valor de [tex]a[/tex].

somando raízes

Solução


Sejam [tex]r_1[/tex], [tex]r_2[/tex] e [tex]r_3[/tex] as raízes da equação dada, com [tex]r_1+r_2=4[/tex].
Como, pela relação de Girard para a soma das raízes de uma equação do terceiro grau, temos [tex]r_1+r_2+r_3=-\dfrac{(-503)}{1}=503[/tex], deduzimos que [tex]r_3=499[/tex].
Como [tex]r_3[/tex] é raíz da equação em questão, temos que:
[tex]\qquad \qquad 499^3-503\cdot 499^2+(a+4)\cdot 499-a=0[/tex],
de onde concluímos que [tex]\boxed{a=1996}[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-somando-raizes/