Números especiais – números perfeitos: Problemas

Solução: Seja [tex]p[/tex] um número natural primo qualquer. Como os únicos divisores naturais de um número primo são 1 e o próprio número, então [tex]\sigma(p)=p+1[/tex].
Se [tex]p[/tex] fosse perfeito, [tex]\sigma(p)=2p[/tex] e, então, [tex]p+1=\sigma(p)=2p[/tex]. Dessa forma teríamos [tex]p+1=2p[/tex] e [tex]p=1[/tex], o que não é possível, visto que [tex]p[/tex] é primo.
Portanto um número primo não pode ser perfeito.

Solução de (i): Seja [tex]n[/tex] um número multiperfeito de ordem 3. Assim [tex]n[/tex] é um número natural maior do que 1 e [tex]\sigma(n)=3n[/tex]. Agora, observe que:

• todo divisor de [tex]n[/tex] é divisor de [tex]3n[/tex];
• 3 é primo e não é divisor de [tex]n[/tex];

portanto,

se [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots, \, d_r[/tex] são os divisores de [tex]n[/tex], então [tex] d_1, \, d_2, \, \cdots, d_r, \, \, 3\cdot d_1, \, \, 3\cdot d_2, \, \cdots, \, 3\cdot d_r[/tex] são os divisores de [tex]3n[/tex].

Assim:
[tex]\begin{align*} \quad\sigma(3n) &= d_1+d_2+\cdots +d_r+3\cdot d_1+3 \cdot d_2+\cdots+3\cdot d_r \\ & =\left( d_1+d_2+\cdots +d_r \right)+3\cdot \left(d_1+ d_2+\cdots+ d_r\right) \\ & =\sigma(n)+3\cdot \sigma(n) \\& =4\cdot \sigma(n).
\end{align*}[/tex]

Mas [tex]\sigma(n)=3n[/tex], logo [tex]\sigma(3n) =12n [/tex].
Dessa forma [tex]\sigma([3n]) =4[3n] [/tex] e, portanto, [tex]3n[/tex] é um número multiperfeito de ordem 4.

• Verifique que se [tex]n=p^r[/tex] com [tex]p[/tex] e [tex]r[/tex] números naturais não nulos, sendo [tex]p[/tex] primo, então os divisores de [tex]n[/tex] são [tex]1, \, p, \, \cdots, \, p^r[/tex].
• Efetue a soma [tex]1+p+p^2+\cdots+p^r[/tex].

Solução: Mostre, inicialmente, que se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números maiores do que 2 então [tex]ab\gt a+b+1[/tex].
Em seguida, verifique que se [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] são primos naturais ímpares e distintos, então os divisores do número [tex]n=pq[/tex] são [tex]1, \, p, \, q, \, pq[/tex].
Finalmente, utilize a desigualdade [tex]pq\gt p+q+1[/tex] para garantir que não é possível a igualdade [tex]\sigma(n)=2n[/tex] para [tex]n=pq[/tex], com [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] primos naturais ímpares e distintos. (O caso em que [tex]p=q[/tex] recai no problema anterior.)

Se [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r[/tex] são os divisores positivos de um número natural [tex]n[/tex], observe que:

• Para cada [tex]d_i[/tex], [tex]i=1, \, 2, \, \, \cdots \, , \, r[/tex], [tex] \dfrac{n}{d_i}[/tex] é também divisor de [tex]n[/tex].[tex]\qquad \qquad (i)[/tex]
  Com efeito, como cada [tex]d_i[/tex] divide [tex]n[/tex], então [tex]n=d_i\cdot k[/tex], com [tex]k\in\mathbb{N}[/tex]. Assim [tex]k=\dfrac{n}{d_i}[/tex] e, então, [tex]\dfrac{n}{d_i}\in\mathbb{N}[/tex]. Por outro lado, [tex]n=\dfrac{n}{d_i}\cdot d_i[/tex], com [tex]n, \, \dfrac{n}{d_i}\in\mathbb{N}[/tex], portanto, [tex] \dfrac{n}{d_i}[/tex] é divisor de [tex]n[/tex].
• Para [tex]i, \, j=1, \, 2, \, \, \cdots \, , \, r[/tex], se [tex]\dfrac{n}{d_i}=\dfrac{n}{d_j}[/tex], então, claramente, [tex]d_i=d_j[/tex].[tex]\qquad(ii) \, [/tex]

Por [tex](i) \, [/tex] e [tex] \, (ii)[/tex], concluímos que se [tex]\left\{d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r\right\}[/tex] é o conjunto de todos os divisores de [tex]n[/tex], então [tex]\left\{\dfrac{n}{d_1}, \, \dfrac{n}{d_2}, \, \cdots \, ,\dfrac{n}{d_r}\right\}[/tex] também o é. Dessa forma, temos que [tex] d_1+d_2+\cdots+d_r=\dfrac{n}{d_1}+\dfrac{n}{d_2}+\cdots+\dfrac{n}{d_r}[/tex].
Sendo [tex]n[/tex] perfeito, então [tex]\sigma(n)=2n[/tex], donde
[tex]\begin{align*} \qquad
\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} + \cdots + \dfrac{1}{d_r} & = \dfrac{n}{n} \left( \dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} + \cdots + \dfrac{1}{d_r} \right) \\ \\ & =\dfrac{1}{n} \left( \dfrac{n}{d_1} + \dfrac{n}{d_2} + \cdots + \dfrac{n}{d_r} \right) \\ \\ & =\dfrac{1}{n} \left( d_1 + d_2 + \cdots + d_r \right) \\ \\ & =\dfrac{\sigma(n)}{n}\\ \\ & =\dfrac{2n}{n} = 2.
\end{align*}[/tex]

O resultado anterior garante que

• se [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r[/tex] são os divisores positivos de um número perfeito [tex]m[/tex], então [tex] \, \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots+\dfrac{1}{d_r}=2[/tex];

assim

• se [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r[/tex] são os divisores positivos de um número [tex]m[/tex] e [tex] \, \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots+\dfrac{1}{d_r}\ne 2[/tex], então [tex]m[/tex] não é perfeito.

Portanto, mostre que se [tex]k_1, \, k_2, \, \cdots \, , \, k_t[/tex] são os divisores positivos de [tex]d[/tex], então [tex] \, \dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}+\cdots+\dfrac{1}{k_t}\ne 2[/tex].