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Números especiais – números perfeitos: Problemas

Números perfeitos
Problemas

Problema 1:
(i) Mostrar que 672 é um número multiperfeito. Qual a sua ordem?
(ii) Mostrar que 30240 é um número multiperfeito de ordem 4.
(iii) Mostrar que 523776 é um número multiperfeito de ordem 3.
(iv) Mostrar que 2178540 é um número multiperfeito de ordem 4.

Problema 2: Mostre que um número primo não pode ser perfeito.

Solução: Seja [tex]p[/tex] um número natural primo qualquer. Como os únicos divisores naturais de um número primo são 1 e o próprio número, então [tex]\sigma(p)=p+1[/tex].
Se [tex]p[/tex] fosse perfeito, [tex]\sigma(p)=2p[/tex] e, então, [tex]p+1=\sigma(p)=2p[/tex]. Dessa forma teríamos [tex]p+1=2p[/tex] e [tex]p=1[/tex], o que não é possível, visto que [tex]p[/tex] é primo.
Portanto um número primo não pode ser perfeito.

Problema 3:

Um número natural não nulo [tex]n[/tex] é dito perfeito multiplicativo se o produto dos seus divisores for igual a [tex]n^2[/tex].

Determinar os dez primeiros números naturais perfeitos multiplicativos.

Problema 4:

(i) Seja [tex]n[/tex] um número multiperfeito de ordem 3.
Mostre que se [tex]n[/tex] não for múltiplo de 3, então [tex]3n[/tex] é um número multiperfeito de ordem 4.

(ii) Seja [tex]n[/tex] um número multiperfeito de ordem 5.
Mostre que se [tex]n[/tex] não for múltiplo de 5, então [tex]5n[/tex] é um número multiperfeito de ordem 6.

Solução de (i): Seja [tex]n[/tex] um número multiperfeito de ordem 3. Assim [tex]n[/tex] é um número natural maior do que 1 e [tex]\sigma(n)=3n[/tex]. Agora, observe que:

  • todo divisor de [tex]n[/tex] é divisor de [tex]3n[/tex];
  • 3 é primo e não é divisor de [tex]n[/tex];

portanto,

  • se [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots, \, d_r[/tex] são os divisores de [tex]n[/tex], então [tex] d_1, \, d_2, \, \cdots, d_r, \, \, 3\cdot d_1, \, \, 3\cdot d_2, \, \cdots, \, 3\cdot d_r[/tex] são os divisores de [tex]3n[/tex].
  • Assim:
    [tex]\begin{align*} \quad\sigma(3n) &= d_1+d_2+\cdots +d_r+3\cdot d_1+3 \cdot d_2+\cdots+3\cdot d_r \\ & =\left( d_1+d_2+\cdots +d_r \right)+3\cdot \left(d_1+ d_2+\cdots+ d_r\right) \\ & =\sigma(n)+3\cdot \sigma(n) \\& =4\cdot \sigma(n).
    \end{align*}[/tex]

    Mas [tex]\sigma(n)=3n[/tex], logo [tex]\sigma(3n) =12n [/tex].
    Dessa forma [tex]\sigma([3n]) =4[3n] [/tex] e, portanto, [tex]3n[/tex] é um número multiperfeito de ordem 4.

    Problema 5:

    Prove que se [tex]n[/tex] é uma potência de um número primo, então [tex]n[/tex] não é um número perfeito.

    • Verifique que se [tex]n=p^r[/tex] com [tex]p[/tex] e [tex]r[/tex] números naturais não nulos, sendo [tex]p[/tex] primo, então os divisores de [tex]n[/tex] são [tex]1, \, p, \, \cdots, \, p^r[/tex].
    • Efetue a soma [tex]1+p+p^2+\cdots+p^r[/tex].

    Problema 6:
    Prove que um quadrado perfeito não é um número perfeito.

    Problema 7:
    Prove que o produto de dois primos ímpares nunca é um número perfeito.

    Solução: Mostre, inicialmente, que se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números maiores do que 2 então [tex]ab\gt a+b+1[/tex].
    Em seguida, verifique que se [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] são primos naturais ímpares e distintos, então os divisores do número [tex]n=pq[/tex] são [tex]1, \, p, \, q, \, pq[/tex].
    Finalmente, utilize a desigualdade [tex]pq\gt p+q+1[/tex] para garantir que não é possível a igualdade [tex]\sigma(n)=2n[/tex] para [tex]n=pq[/tex], com [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] primos naturais ímpares e distintos. (O caso em que [tex]p=q[/tex] recai no problema anterior.)

    Problema 8:

    Sejam [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r[/tex] os divisores positivos de um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex].
    Prove que se [tex]n[/tex] é um número perfeito, então [tex] \, \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots+\dfrac{1}{d_r}=2[/tex].

    Se [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r[/tex] são os divisores positivos de um número natural [tex]n[/tex], observe que:

    • Para cada [tex]d_i[/tex], [tex]i=1, \, 2, \, \, \cdots \, , \, r[/tex], [tex] \dfrac{n}{d_i}[/tex] é também divisor de [tex]n[/tex].[tex]\qquad \qquad (i)[/tex]
      Com efeito, como cada [tex]d_i[/tex] divide [tex]n[/tex], então [tex]n=d_i\cdot k[/tex], com [tex]k\in\mathbb{N}[/tex]. Assim [tex]k=\dfrac{n}{d_i}[/tex] e, então, [tex]\dfrac{n}{d_i}\in\mathbb{N}[/tex]. Por outro lado, [tex]n=\dfrac{n}{d_i}\cdot d_i[/tex], com [tex]n, \, \dfrac{n}{d_i}\in\mathbb{N}[/tex], portanto, [tex] \dfrac{n}{d_i}[/tex] é divisor de [tex]n[/tex].
    • Para [tex]i, \, j=1, \, 2, \, \, \cdots \, , \, r[/tex], se [tex]\dfrac{n}{d_i}=\dfrac{n}{d_j}[/tex], então, claramente, [tex]d_i=d_j[/tex].[tex]\qquad(ii) \, [/tex]

    Por [tex](i) \, [/tex] e [tex] \, (ii)[/tex], concluímos que se [tex]\left\{d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r\right\}[/tex] é o conjunto de todos os divisores de [tex]n[/tex], então [tex]\left\{\dfrac{n}{d_1}, \, \dfrac{n}{d_2}, \, \cdots \, ,\dfrac{n}{d_r}\right\}[/tex] também o é. Dessa forma, temos que [tex] d_1+d_2+\cdots+d_r=\dfrac{n}{d_1}+\dfrac{n}{d_2}+\cdots+\dfrac{n}{d_r}[/tex].
    Sendo [tex]n[/tex] perfeito, então [tex]\sigma(n)=2n[/tex], donde
    [tex]\begin{align*} \qquad
    \dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} + \cdots + \dfrac{1}{d_r} & = \dfrac{n}{n} \left( \dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} + \cdots + \dfrac{1}{d_r} \right) \\ \\ & =\dfrac{1}{n} \left( \dfrac{n}{d_1} + \dfrac{n}{d_2} + \cdots + \dfrac{n}{d_r} \right) \\ \\ & =\dfrac{1}{n} \left( d_1 + d_2 + \cdots + d_r \right) \\ \\ & =\dfrac{\sigma(n)}{n}\\ \\ & =\dfrac{2n}{n} = 2.
    \end{align*}[/tex]

    Problema 9:

    Seja [tex]d[/tex] um divisor próprio do número natural [tex]n[/tex] ( [tex]d[/tex] um divisor de [tex]n[/tex], mas [tex]d \ne n[/tex]).
    Mostre que se [tex]n[/tex] é um número perfeito, então [tex]d[/tex] não é perfeito.

    O resultado anterior garante que

    • se [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r[/tex] são os divisores positivos de um número perfeito [tex]m[/tex], então [tex] \, \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots+\dfrac{1}{d_r}=2[/tex];

    assim

    • se [tex]d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r[/tex] são os divisores positivos de um número [tex]m[/tex] e [tex] \, \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots+\dfrac{1}{d_r}\ne 2[/tex], então [tex]m[/tex] não é perfeito.

    Portanto, mostre que se [tex]k_1, \, k_2, \, \cdots \, , \, k_t[/tex] são os divisores positivos de [tex]d[/tex], então [tex] \, \dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}+\cdots+\dfrac{1}{k_t}\ne 2[/tex].

    Problema 10:

    Mostre que todo múltiplo de um número perfeito [tex]n[/tex] que seja diferente do zero e do próprio [tex]n[/tex] é abundante.

    Problema 11:

    Seja [tex]n[/tex] um número perfeito par.
    Mostre que se [tex]d[/tex] é um divisor de [tex]n[/tex] tal que [tex]0\lt d \lt n[/tex], então [tex]d[/tex] é um número deficiente.



    Equipe COM – OBMEP

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