Problema
Dados os reais não nulos [tex] \, a[/tex] e [tex] \, b[/tex], sabe-se que:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a-4}{2012}[/tex]
e
[tex]\qquad \qquad ab=4024[/tex].
Qual o valor de [tex]a-b[/tex] ?
Solução
Sejam [tex]a[/tex] e [tex] \, \, b[/tex] números reais não nulos. Observe, inicialmente, que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a-4}{2012} \iff \dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a-4}{2012}[/tex].
Mas [tex] \, ab=4024[/tex], logo
[tex]\qquad \qquad \dfrac{a+b}{4024}=\dfrac{a-4}{2012}[/tex],
donde
[tex]\qquad \qquad a+b=2\cdot(a-4)[/tex].
Então
[tex]\qquad \qquad \fbox{$a-b=8$}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Olimpíada: OBM – 2012
Nível 2
Nível 2