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David Hilbert

Brilhante matemático alemão, David Hilbert nasceu em Königsberg no ano de 1862, na Prússia Oriental (hoje cidade de Kaliningrado, Rússia) e faleceu em Göttingen, 14 de fevereiro de 1943. Famoso e renomado professor de geometria euclidiana em Göttingen, doutorou-se pela Universidade de Konigsberg (1884), onde também foi professor (1886−1895). Depois mudou-se para a Universidade de Gottingen (1895−1930), onde deu continuidade à brilhante tradição matemática de Gauss, Dirichlet e Riemann e transformou a universidade em foco permanente de atenção por suas ideias inovadoras nesse campo de estudos.
 
David Hilbert é um dos mais notáveis matemáticos e os tópicos de suas pesquisas são fundamentais em diversos ramos da matemática atual. É considerado como um dos maiores matemáticos do século XX. Suas contribuições à matemática são diversas:

1. Consolidação da teoria dos invariantes, que foi o objeto de sua tese.
2. Transformação da geometria euclidiana em axiomas, com uma visão mais formal que Euclides, para torná-la consistente, publicada no seu Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da geometria).
3. Trabalhos sobre a teoria dos números algébricos, retomando e simplificando, com a ajuda de seu amigo Minkowski, os trabalhos de Kummer, Kronecker, Dirichlet e Dedekind, e publicando-os no seu Zahlbericht (Relatório sobre os números).
4. Criação dos espaços que levam seu nome, durante seus trabalhos em análise sobre equações integrais.
5. Contribuição para as formas quadráticas, base matemática da teoria da relatividade de Albert Einstein.

 Em 1900, na conferência do Congresso Internacional de Matemáticos de Paris em 1900, Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas de matemática. Nenhum desses problemas havia tido solução até então, e vários deles acabaram se tornando muito influentes na matemática do século XX. Nessa conferência, ele publicou 10 dos problemas (1,2,6,7,8,13,16,19,21, e 22), e o resto da lista foi publicado mais tarde. A lista de problemas de Hilbert pode ser encontrada neste link.
 
Hilbert recebeu diversas honrarias:
– Foi eleito membro honorário da London Mathematical Society, em 1901.
– Em 1905, a Academia Húngara de Ciências deu uma citação especial para Hilbert.
– Foi agraciado com o Prêmio Bolyai, em 1910.
– Foi eleito membro da Royal Society de Londres em 1928.
– Em 1939 ele foi premiado com o prêmio Mittag-Leffler pela Academia Sueca de Ciências .
– Membro honorário da Sociedade Alemã de Matemática, honra conferida em 1942.
 

O Hotel de Hilbert

Uma das questões que mais intrigava Hilbert era o conceito de infinito, que ainda não estava bem definido. Foi na tentativa de aprofundar os questionamentos sobre esse conceito que ele formulou um problema conhecido como o Hotel de Hilbert, segundo o qual diversos conjuntos infinitos cabem dentro de um mesmo conjunto infinito.
 

 
O problema Hotel de Hilbert é nome dado ao fórum da PIC – Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Ei-lo:

• Considere um hotel com infinitos quartos, com os números [tex]1,\ 2,\ 3,\ \cdots[/tex]. Suponha que todos os quartos estejam ocupados e chega um novo hóspede. Como a gerência do hotel poderá acomodar o novo hóspede?
  – Basta passar o hóspede do quarto [tex]1[/tex] para o quarto [tex]2[/tex], o do [tex]2[/tex] para o [tex]3[/tex] e assim por diante. O novo hóspede poderá ser, então, acomodado no quarto número [tex]1[/tex].
  Suponha agora que chegue ao hotel um ônibus com uma quantidade infinita de passageiros, acomodados nas poltronas [tex]1,\ 2,\ 3,\ \cdots[/tex]. Como a gerência pode acomodar estes infinitos hóspedes?
  – Basta passar o hóspede do quarto [tex]1[/tex] para o quarto [tex]2[/tex], o do [tex]2[/tex] para o quarto [tex]4[/tex], o do [tex]3[/tex] para o [tex]6[/tex] e assim por diante, ou seja, o hóspede do quarto [tex]n[/tex] passa ocupar o quarto [tex]2n[/tex]. Procedendo assim, todos os quartos ímpares ficarão vazios e poderão ser ocupados pelos passageiros do ônibus.
  Suponha que estão para chegar ao hotel infinitos ônibus marcados com os números [tex]1,\ 2,\ 3,\ \cdots[/tex]. Cada um destes ônibus trará infinitos passageiros que estão acomodados em poltronas numeradas com [tex]1,\ 2,\ 3,\ \cdots[/tex]. O Hotel de Hilbert poderá receber todos estes hóspedes?
  – Sim, poderá receber. Para isso, basta esvaziar os quartos ímpares mudando o hóspede do quarto [tex]n[/tex] para o quarto [tex]2n[/tex]. Então acomode os passageiros do primeiro ônibus nos quartos [tex]3^n[/tex], os passageiros do segundo ônibus serão acomodados nos quartos [tex]5^n[/tex], e assim por diante. Para o ônibus de número [tex]i[/tex] usamos os quartos de número [tex]p^n[/tex], sendo [tex]p[/tex] o [tex](i+1)[/tex]-ésimo número primo.