Problema
Determine todos os ternos de números reais [tex](a, b, c)[/tex] satisfazendo à equação
[tex]a(a-b-c)+(b^2+c^2-bc)=4a^2\left(abc-\dfrac{a^2}{4}-b^2c^2\right)[/tex].
Solução
A equação pode ser reescrita como sendo [tex]a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=a^2(4abc-a^2-4b^2c^2)[/tex].
Veja, também, que:
- [tex]a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0[/tex];
- [tex]a^2(4abc-a^2-4b^2c^2)=-a^2(a-2bc)^2\leq 0[/tex];
assim
- [tex]0 \le a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=a^2(4abc-a^2-4b^2c^2)\le 0[/tex].
ou seja,
- [tex] a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=a^2(4abc-a^2-4b^2c^2)= 0[/tex].
Bom, como
[tex]\quad a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}= 0[/tex],
então
[tex]\quad (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2= 0[/tex].
Mas, essa igualdade é possível se, e somente se, [tex](a-b)=(b-c)=(c-a)= 0[/tex] e, portanto, temos [tex]a=b=c[/tex].
Por outro lado,
[tex]\quad a^2(4abc-a^2-4b^2c^2)=-a^2(a-2bc)^2= 0[/tex],
então [tex]a=0[/tex] ou [tex]a-2bc=0[/tex].
Resumindo, temos que “[tex]a=b=c[/tex]” e “[tex]a=0[/tex] ou [tex]a-2bc=0[/tex]”. E o que isso significa?
– Significa que
[tex]\qquad a=b=c[/tex] e [tex]a=0; \qquad\qquad (i)[/tex]
ou
[tex]\qquad a=b=c[/tex] e [tex]a-2bc=0. \qquad\qquad (ii)[/tex]
De [tex](i)[/tex] tiramos que [tex]a=b=c=0[/tex]. Se [tex]a=b=c\ne 0[/tex], de [tex](ii)[/tex] concluímos que [tex]a=b=c=\dfrac{1}{2}[/tex].
Logo, são dois os ternos possíveis: [tex](0, 0, 0)[/tex] e [tex]\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.