Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Determine todos os inteiros positivos [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] tais que [tex]a! + b! = c![/tex].
Solução
Como [tex]b! > 0[/tex], temos [tex]c! > a![/tex] e, portanto, [tex]c > a[/tex]. De modo análogo, mostra-se que [tex]c > b[/tex].
Mas [tex]\boxed{c > a \Leftrightarrow c – 1 \geq a}\,\,[/tex] e [tex]\,\,\boxed{c > b \Leftrightarrow c – 1 \geq b}[/tex], assim temos que:
[tex]\qquad (c – 1)! \geq a!\qquad\qquad [/tex] (I)
[tex]\qquad (c – 1)! \geq b!\qquad\qquad [/tex] (II).
Perceba que [tex]c \lt 3[/tex], caso contrário, teríamos
[tex]\quad c! \geq 3\cdot (c-1)! = \underbrace{(c -1)!}_{ \geq a! \text{ (I)}} + \underbrace{(c -1)!}_{ \geq b! \text{ (II)}} + (c -1)! \geq a! + b! + (c – 1)! > a! + b!\,,[/tex]
o que contradiz a hipótese.
Deste modo, temos [tex]c = 1[/tex] ou [tex]c = 2[/tex].
No primeiro caso não temos solução e no segundo caso temos [tex]\boxed{a = b = 1}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.