.Problema de Gincana: Que sequência complicada…

Problema

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Escreve-se em ordem crescente os múltiplos positivos de 3 cujos respectivos sucessores imediatos são quadrados perfeitos.
Qual é o $2006^{\circ}$ termo dessa sequência?

Solução

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Os primeiros termos da sequência são $3, \, 15, \, 24, \, 48, \, 63, \, 99, \, 120, \, \cdots \,$
Seja $n$ um múltiplo positivo de $3$; assim $n$ pertence a essa sequência se, e somente se, existir um inteiro positivo $k$ tal que $n + 1 = k^2$.
Se $n + 1 = k^2$, então $n = k^2 -1 = (k – 1) \cdot (k + 1)$ e, sendo $n$ um múltiplo de $3$, um dos fatores $(k – 1)$ ou $(k + 1)$ deve ser múltiplo de $3$, o que ocorre se, e somente se, $k$ não for múltiplo de 3. Logo, $k$ é da forma $3a-1$ ou $3a+1$, com $a$ um inteiro positivo.
Pelo exposto, podemos concluir que cada múltiplo de $3$ escrito na sequência está associado a um inteiro $k$, maior ou igual a 2, tal que $k$ não é múltiplo de $3$. E como $n = k^2 -1$, observamos também que quanto maior o inteiro $k$, maior será $n$.
Vamos, então, procurar o $k$ que definirá o termo $2006$ dessa sequência; para isso, acompanhe a discussão que segue.
Observe que, se formarmos ternos ordenados de números inteiros consecutivos a partir do $2$, teremos sempre dois valores que não são múltiplos de $3$ em cada terno, ou seja, valores de $k$ que definem termos da sequência requerida:
$\quad \underbrace{(2;3=3\times 1; \, 4)}_{1^o \, terno \, ordenado} \, \, \, \underbrace{( 5; \, 6=3\times 2; \, 7)}_{2^o \, terno \, ordenado} \, \, \, \underbrace{(8; 9=3\times 3; \, 10)}_{3^o \, terno \, ordenado} \, \, \, \underbrace{(11; \, 12=3\times 4; \, 13)}_{4^o \, terno \, ordenado} \, \, \cdots \,.$

Note que, se representarmos a sequência em questão por $s_1, \, s_2, \, s_3, \, s_4, \, \cdots \, , \, s_m, \, \cdots \,$, então

• $k=2$ define $s_1$ ($s_1=2^2-1=3$)
• $k=4$ define $s_2$ ($s_2=4^2-1=15$)
• $k=5$ define $s_3$ ($s_3=5^2-1=24$)
• $k=7$ define $s_4$ ($s_4=7^2-1=48$)
• $k=8$ define $s_5$ ($s_5=8^2-1=63$)
• $k=10$ define $s_6$ ($s_6=10^2-1=99$)
• $k=11$ define $s_7$ ($s_7=11^2-1=120$)
• $k=13$ define $s_8$ ($s_8=13^2-1=168$)
• . . .

O $2006^{\circ}$ termo dessa sequência está associado ao $2006^{\circ}$ inteiro, maior ou igual a 2, que não é múltiplo de $3$, mas em qual dos ternos ordenados vamos encontrar o valor de $k$ que corresponde ao $2006^{\circ}$ termo da sequência, isto é, $s_{2006}$?
Uma vez que $2006 = 2 \times 1003$ e que há 2 possíveis valores para $k$ em cada terno, observamos o $1003^{\circ}$ terno ordenado:
$\qquad (3\times 1003-1 \, , \, 3\times 1003 \, , \, 3\times 1003+1)=(3008,3009,3010)$,
e, como o índice $2006$ é par, o valor de $k$ que define $s_{2006}$ é o número que está à direita no respectivo terno ordenado: $k=3010$.
Portanto, o $2006^{\circ}$ termo da sequência será $\boxed{3010^2 – 1=9060099}$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.