Problema
Do conjunto [tex]\{1, 2, 3, \ldots , 100\}[/tex] retiram-se cinco números em progressão aritmética.
Se a soma dos números restantes no conjunto é [tex]4745[/tex], qual o terceiro termo da progressão retirada?
Solução
A soma de todos os termos do conjunto é
[tex]\quad 1+ 2+ 3+ \cdots + 100=\dfrac{100\times 101}{2}=101 \cdot 50 = 5050[/tex]
Como a soma após a retirada dos cinco termos em P.A. caiu para [tex]4745[/tex], então os cinco termos somados resultam em [tex]305[/tex].
Os cinco termos da P.A. podem ser descritos por [tex]x – 2r, \, x-r, \, x, \, x+r, \, x + 2r[/tex], logo
[tex]\qquad x – 2r + x-r + x + x+r + x + 2r = 305\\
\qquad 5x = 305\\
\qquad x = 61.[/tex]
Portanto, o terceiro termo da P.A. em questão é [tex]61[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Segunda Gincana de 2015 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Média
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