Números especiais – pares e ímpares: Problemas envolvendo paridade
Números especiais – pares e ímpares
Problemas envolvendo paridade
Para resolver os próximos problemas, você precisará saber
apenas fatos básicos sobre paridade.
► Para ajudar, vamos explicitar algumas consequências da aritmética da paridade.
(1) Todo número natural ou é par ou é ímpar.
(2) Paridade da soma e do produto em [tex]\mathbb{N}[/tex]:
(3) A soma de qualquer quantidade de números naturais pares é par.
(4) A soma de uma quantidade par de números naturais todos ímpares é par.
(5) A soma de uma quantidade ímpar de números naturais todos ímpares é um inteiro ímpar.
(6) A soma de uma mistura de números naturais pares e ímpares tem a mesma paridade que a quantidade de parcelas ímpares que foram somadas.
Lembramos que essas propriedades podem ser naturalmente estendidas para o conjunto dos números inteiros. Nesse caso podemos reescrevê-las, conforme faremos a seguir.
(1) Todo número inteiro ou é par ou é ímpar.
(2) Paridade da soma e do produto em [tex]\mathbb{Z}[/tex]:
(3) A soma de qualquer quantidade de números inteiros pares é par.
(4) A soma de uma quantidade par de números inteiros todos ímpares é par.
(5) A soma de uma quantidade ímpar de números inteiros todos ímpares é um inteiro ímpar.
(6) A soma de uma mistura de números inteiros pares e ímpares tem a mesma paridade que a quantidade de parcelas ímpares que foram somadas.
► Particularmente, em alguns problemas, você poderá recorrer à seguinte estratégia para provar que uma determinada situação não ocorre:
associar ao problema em questão um certo conjunto que, ao contarmos os seus elementos de maneiras distintas, encontramos paridades diferentes no final da contagem; o que, obviamente, não pode ocorrer, já que a quantidade de elementos de qualquer conjunto é um número natural e, portanto, tem uma e somente uma paridade: ou é par ou é ímpar.
Parece complicado, mas, com um pouco de prática, podemos resolver vários problemas utilizando essa técnica!
► Para problemas nos quais é apresentada uma condição inicial que deverá ser modificada, você poderá tentar encontrar dados do problema em questão que não se alteram, independentemente da modificação proposta.
Preparados?
Então, vamos lá…
Problemas
Problema 1: Em um quartel existem 100 soldados e, todas as noites, três desses soldados são escolhidos para trabalhar de sentinela.
É possível que, após certo tempo, um dos soldados tenha trabalhado com cada um dos outros exatamente uma vez?
Não é possível.
Fixemos um dos soldados: soldado S. Em cada noite em que trabalha, esse soldado terá a companhia de dois companheiros; como [tex] 99 = 2 \times 49 + 1[/tex], os demais [tex] 99 [/tex] soldados do quartel poderão formar [tex] 49[/tex] grupos de dois soldados, e sobrará [tex] 1[/tex]. Assim, em 49 noites, o soldado S poderá ficar de sentinela com dois companheiros sempre diferentes, mas, na noite número [tex]50[/tex], o único soldado que sobrou vai ter que se juntar a outro que já fez sentinela com o soldado S.
De uma outra forma, para cada noite em que trabalhe, o soldado S deverá ter a companhia de dois soldados diferentes. Assim, será necessário agruparmos os demais soldados de [tex]2[/tex] em [tex]2[/tex] para definirmos as escalas do soldado S, ou seja, necessitaremos de um número par de soldados. Mas, além do soldado S, há um número ímpar de soldados no quartel: 99.
Portanto, não podemos formar pares de soldados diferentes para trabalhar com o soldado S.
Problema 2: Escrevemos abaixo os números naturais de 1 a 10.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes de cada um deles, coloque sinais “+” (positivo) ou “–” (negativo) de forma que a soma de todos seja zero.
Não é possível.
Para que a soma fosse zero, deveríamos escolher os sinais de modo que a soma final ficasse reduzida a uma soma parcial da forma [tex]a+(-a)[/tex], já que [tex]a+(-a)=0[/tex]. Para isso seria necessário separar os números em questão em dois grupos que tivessem a mesma soma e, então, colocar sinais “+” na frente dos números de um grupo e sinais “–” na frente dos números do outro grupo.
No entanto isso não é possível, pois [tex]1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10=55[/tex] e 55 é impar.
De uma forma mais rápida, no entanto mais sutil, podemos utilizar a propriedade (6) e observar que, escolhidos os sinais, a paridade da soma final dos números é a paridade da quantidade de parcelas ímpares que serão somadas. Como a paridade independe do sinal que foi colocado na frente dos números, a paridade da soma é ímpar, pois temos cinco ímpares: 1, 3, 5, 7, 9.
Assim, não é possível obter zero como resultado, já que zero é par!
Problema 3: Um jogo consiste de 9 botões luminosos (de cor verde ou vermelha) dispostos da seguinte forma:
Apertando o botão do centro (botão 5), trocam de cor todos os seus 8 vizinhos, porém ele não.
Apertando qualquer botão que não seja o do centro, trocam de cor o botão apertado e seus vizinhos (do lado ou em diagonal).
Inicialmente todos os botões estão verdes. É possível, apertando sucessivamente alguns botões, torná-los todos vermelhos?
Não é possível.
Observe que:
apertando um dos botões 1, 3, 7 ou 9 trocamos a cor de quatro botões;
apertando um dos botões 2, 4, 6 ou 8 trocamos a cor de seis botões;
apertando o botão 5 trocamos a cor de oito botões.
Dessa forma, cada vez que apertamos um botão trocam de cor um número par de botões. Como existem nove botões, não é possível que todos troquem de cor.
Problema 4: Pedro comprou um caderno com 96 folhas, com páginas numeradas de 1 a 192, em ordem crescente.
Vitor arrancou aleatoriamente 25 folhas do caderno e somou todos os 50 números escritos nestas folhas. É possível que essa soma seja 1990?
Mais uma vez, temos uma situação não possível.
Com efeito, como as páginas foram numeradas em ordem crescente, então as páginas de uma folha qualquer do caderno foram numeradas com números naturais consecutivos. Mas:
o problema 5 da página da Aritmética da Paridade garante que números naturais consecutivos têm paridade oposta;
pela paridade da soma, observamos que a soma de dois números de paridade oposta é impar;
a soma de uma quantidade ímpar de números ímpares é um número ímpar.
Devido a essa última afirmação, a soma em questão não pode ser 1990.
Problema 5: Existem números inteiros [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] que satisfazem a igualdade [tex] \, \, a \cdot b \cdot (a − b) = 8507[/tex] ?
Não existem tais números. Sugestão 1: Analisar as quatro possibilidades de paridade para [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex]:
[tex]a \, [/tex] par; [tex] \, b \, [/tex]par.
[tex]a \, [/tex] ímpar; [tex] \, b \, [/tex] ímpar.
[tex]a \, [/tex] par; [tex] \, b \, [/tex] ímpar.
[tex]a \, [/tex] ímpar; [tex] \, b \, [/tex] par.
Sugestão 2: O produto de alguns inteiros só é ímpar se todos estes inteiros forem ímpares.
Problema 6: É possível que as seis diferenças entre dois elementos de um conjunto de quatro números inteiros sejam iguais a 2, 2, 3, 4, 4, 6 ?
Suponhamos que existam quatro números inteiros cujas diferenças sejam [tex] \, 2, \, 2, \, 3, \, 4, \, 4, \, 6[/tex].
Se os quatro números são inteiros, então um dentre estes quatro casos deve, necessariamente, ocorrer:
1º)Os quatro números são todos pares ou todos ímpares.
Neste caso, as diferenças seriam todas pares. Assim, não poderia aparecer 3 como diferença. 2º) Três números são pares e um número é ímpar.
Aqui iriam aparecer três diferenças ímpares, o que não é o caso. 3º) Dois números são pares, e dois ímpares.
Agora deveriam aparecer quatro diferenças ímpares, o que também não ocorre.
4º) Três números são ímpares e um par.
Mais uma vez iriam aparecer três diferenças ímpares, o que não ocorre.
Para outras soluções do problema, visite esta página.
Problema 7: De quantas maneiras poderemos escrever 103 como a soma de dois números naturais primos?
Suponhamos que existam naturais [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] tais que [tex]a+b=103[/tex].
Observando, em (2), a tabelinha da paridade da soma, podemos afirmar que [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] têm paridade oposta, já que [tex]103[/tex] é ímpar. Mas o único natural primo que é par é o número [tex]2[/tex], assim ou [tex]a \, [/tex] ou [tex] \, b[/tex] é [tex]2[/tex].
Suponha, sem perda de generalidade, que [tex]a=2[/tex]; assim [tex]b=103-2=101[/tex].
Ao consultar uma tabela que contenha os primeiros primos naturais, comprovamos que [tex]101[/tex] é um número primo (consulte, por exemplo, esta tabela).
Portanto, a menos da ordem das parcelas, existe uma única maneira de se escrever [tex]103[/tex] como soma de dois primos naturais: [tex]103=2+101[/tex].
Problema 8: Raul falou que tinha dois anos a mais que Kátia. Kátia falou que tinha o dobro da idade de Pedro. Pedro falou que Raul tinha 17 anos.
Mostre que um deles mentiu.
Problema 9: Onze engrenagens estão colocadas em um plano, arrumadas em cadeia como ilustrado na figura abaixo.
Todas as engrenagens podem rodar simultaneamente?
Problema 10: É possível escrever o número 45 como soma de 10 parcelas, de modo que cada parcela seja 1 ou 3 ou 5?
Problema 11: O produto de 22 números inteiros é igual a 1.
Mostre que a soma desses 22 números não pode ser igual a zero.
Problema 12: Um quadrado mágico é uma tabela [tex]n\times n[/tex] contendo um número em cada célula de modo que as somas dos números ao longo de qualquer linha, coluna ou diagonal são iguais.
Particularmente, é possível construir um quadrado mágico [tex]6\times 6[/tex] com os 36 primeiros números naturais primos?
Problema 13: (VESTIBULAR-UFJF-2004) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Deseja-se formar um número de três algarismos e, para tanto, são sorteadas três bolas sem reposição, sendo que a primeira bola determinará o algarismo das unidades do número, a segunda bola determinará o algarismo das dezenas do número e a terceira bola determinará o algarismo das centenas do número. A probabilidade do número formado ser par é de:
A) 1/9
B) 2/9
C) 1/3
D) 4/9
E) 5/9
Vimos que a paridade do número pode ser identificada apenas pelo algarismo das unidades e neste problema ele será indicado pela primeira bola.
Para que o número seja par, esta bola deve possuir um número par. Como há 4 números pares entre os 9 possíveis números, a probabilidade pedida é 4/9.
Problema 14: Mostre que na igualdade abaixo é impossível que todos os denominadores sejam ímpares:
Problema 15: O único marciano sobrevivente relatou que, nos últimos tempos em Marte, apenas existiam 20 marcianos amarelos, 21 verdes e 22 azuis. Informou também que, quando dois marcianos de cores distintas se encontravam, fundiam-se transformando-se em um só marciano com a cor distinta da deles.
Qual a cor do marciano sobrevivente?
Problema 16: Kátia e alguns colegas estão sentados em volta de uma mesa circular. Os dois vizinhos de cada colega são do mesmo sexo. Se cinco dos colegas de Kátia que estão sentados em volta da mesa são meninos, quantas meninas estão sentadas em volta dessa mesa?
Problema 17: Um fazendeiro deseja abater 30 porcos em 5 dias de modo que em cada dia sejam abatidos somente um número ímpar de porcos.
Caso isso seja possível, determine como. Caso seja impossível, explique o motivo.
A soma de cinco números ímpares quaisquer tem a mesma paridade que o 5, ou seja, é ímpar (vejam a propriedade (5), no início desta página).
Logo, é impossível que sejam abatidos 30 porcos nestas condições, já que 30 é um número par.
Problema 18: Um tabuleiro quadrado 5 × 5 pode ser coberto por dominós 1 × 2 ?
Problema 19: Qual o menor número natural maior do que [tex]1[/tex] que divide a soma [tex]3^{231}+7^{513}[/tex]?
Problema 20: Um número diz-se super-ímpar se o produto dos seus algarismos for um numero ímpar.
Quantos são os números super-ímpares com três algarismos?
E com 5000 algarismos?
Com três algarismos: 125 números.
Problema 21: Demonstre o seguinte resultado, atribuído à Escola Pitagórica: Se um ímpar divide um par, então o ímpar também divide a metade do par.
Problema 22: Um grupo de [tex]k[/tex] físicos e [tex]k[/tex] químicos está sentado ao redor de uma mesa. Alguns deles sempre falam a verdade e outros sempre mentem.
Sabe-se que o número de físicos mentirosos e químicos mentirosos é o mesmo.
Quando foi perguntado ao grupo:
– Qual é a profissão de seu vizinho da direita?
todos responderam
– Químico.
Mostre que [tex]k[/tex] é par.
Problema 23: Pegue uma folha de papel e corte-a em cinco pedaços.
Pegue um dos pedaços e corte-o em cinco pedaços. Após ter feito isso várias vezes, é possível obter exatamente 1000 pedaços de papel?
E 1001?
Problema 24: Em cada um dos dez degraus de uma escada está uma rã.
Cada uma dessas rãs pode dar um salto e pular para qualquer outro degrau; mas, quando fizer isso, ao mesmo tempo, uma outra rã pulará a mesma quantidade de degraus em sentido contrário. Assim, uma sobe e outra desce.
Em algum momento, conseguirão as rãs colocarem-se todas juntas em um mesmo degrau?
Dado invariante do problema: a paridade da quantidade de rãs nos degraus.
Problema 25: Escolhe-se um número de 17 dígitos e inverte-se a ordem de seus dígitos, formando-se um novo número. Estes dois números são somados.
Mostre que essa soma tem, pelo menos, um dígito par.
Problema 26: Mostre que, se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são inteiros ímpares, então [tex]a^2-b^2[/tex] é divisível por [tex]8[/tex].
Suponhamos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] inteiros ímpares. Então existem inteiros [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] tais que [tex]a=2k+1, \, b=2t+1[/tex]. Logo,
[tex]\qquad a^2-b^2=(2k+1)^2-(2t+1)^2=4k^2+4k-4t^2-4t\\
\qquad a^2-b^2=4[k^2+k-(t^2+t)]. \qquad\qquad(i)[/tex]
Pelo Problema 1 desta página, [tex]k^2[/tex] e [tex]k[/tex] têm a mesma paridade, donde [tex]k^2+k[/tex] é par. Como o mesmo ocorre com [tex]t^2+t[/tex], podemos, então, afirmar que [tex]k^2+k-(t^2+t)[/tex] é a diferença de dois pares, sendo também par, e com isso:
[tex]\qquad k^2+k-(t^2+t)=2m[/tex] para algum inteiro [tex]m.\qquad\qquad (ii)[/tex]
Por [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex], [tex]a^2-b^2=4\cdot 2m=8m[/tex], o que significa que [tex]a^2-b^2[/tex] é divisível por [tex]8[/tex].
Problema 27: (UFJF-2009-VESTIBULAR) De quantas maneiras podemos escolher 3 números naturais distintos dentre os inteiros de 1 a 20, de modo que a soma dos números escolhidos seja ímpar?
A) 100
B) 360
C) 570
D) 720
E) 1140
Somando números naturais pares e ímpares obtemos um número natural que tem a mesma paridade que a quantidade de parcelas ímpares que foram somadas (vejam (6)). Logo, devemos escolher uma quantidade ímpar de números ímpares, ou seja, exatamente 1 número ímpar (e dois pares) ou 3 números ímpares (e nenhum par).
Para este último caso há [tex]C_{10}^3=120[/tex] possibilidades, já que vamos escolher [tex]3[/tex] dentre [tex]10[/tex] números ímpares;
para o outro caso, podemos escolher o número ímpar de [tex]10[/tex] maneiras distintas e os dois números pares de [tex]C_{10}^2=45[/tex] maneiras distintas (escolheremos [tex]2[/tex] dentre [tex]10[/tex] pares);
deste modo, teremos [tex]10\times45=450[/tex] possibilidades (consulte a Sala sobre o PFC). Assim, há [tex]120+450=570[/tex] maneiras de se escolher os números de forma que a soma seja ímpar.
Problema 28: Imagine que 10 prisioneiros estejam trancados em uma cela quando chega um carcereiro com o seguinte comunicado:
– Amanhã todos vocês passarão por um teste. Todos vocês ficarão em fila indiana e serão colocados chapéus nas cabeças de cada um de vocês. Cada um poderá ver os chapéus dos que estarão a sua frente, porém não poderão ver os chapéus dos que estão atrás, nem o seu próprio chapéu. Os chapéus serão pretos ou brancos. Feito isso, será perguntado a cada um de vocês, do último para o primeiro, em ordem, qual a cor do seu chapéu. Se a pessoa errar a cor do seu chapéu, será morta.
Será que os prisioneiros podem montar uma estratégia para salvar pelo menos 9 deles?
Problema 29: Se [tex]n[/tex] é um número inteiro qualquer, qual dos números abaixo é ímpar?
(a) [tex]n^2-n+2[/tex]
(b) [tex]n^2+n+2[/tex]
(c) [tex]n^2+n+5[/tex]
(d) [tex]n^2+5[/tex]
(e) [tex]n^3+5[/tex]
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