Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Um matemágico pede a um participante da plateia que pense em uma peça qualquer de um jogo de dominó.
Em seguida, orienta o participante para que ele multiplique, então, um dos números da peça por 5, depois some 5, multiplique o resultado por 2 e, finalmente, some o outro número do dominó.
Ao final, pergunta ao participante qual o número resultante, ao que ele lhe responde 74. O matemágico rapidamente diz qual foi a peça escolhida.
Responda você qual foi a peça escolhida e explique como o matemágico fez para descobrir tão rápido.
Solução 1
Consideremos uma peça com os números [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] , estes podendo ser [tex]0, 1, 2, 3, 4, 5[/tex] ou [tex]6[/tex].
Assim, temos:
[tex]\qquad\qquad 2(5x + 5) + y = 74[/tex]
[tex]\qquad\qquad 10x + 10 = 74 – y[/tex]
[tex]\qquad\qquad 10(x + 1) = 74 – y[/tex],
onde [tex]74-y[/tex] deve ser um número múltiplo de [tex]10[/tex], portanto o único valor possível que atende a essa condição é o [tex]4[/tex], logo [tex]y = 4[/tex].
[tex]\qquad\qquad 10(x+1) = 74 – 4[/tex]
[tex]\qquad\qquad 10(x+1) = 70[/tex]
[tex]\qquad\qquad x+1 = 7[/tex]
[tex]\qquad\qquad x = 6[/tex]
Assim, os valores pensados pelo participante são o [tex]4[/tex] e o [tex]6[/tex].
Para outros valores procedemos da seguinte forma:
[tex]\qquad\qquad 2(5x+5)+y = m[/tex]
Onde [tex]m[/tex] é o valor da resposta do participante
[tex]\qquad\qquad 10x+10 = m-y[/tex]
[tex]\qquad\qquad 10(x+1) = m-y[/tex]
Observamos que [tex]m-y[/tex] deve ser um múltiplo de [tex]10[/tex]. Sendo assim, [tex]y[/tex] corresponde ao valor da unidade mais próxima do múltiplo de [tex]10[/tex].
O valor de [tex]x[/tex] será obtido da seguinte forma:
[tex]\qquad\qquad x+1=\dfrac{m-y}{10}[/tex]
[tex]\qquad\qquad x=\dfrac{m-y}{10}-1[/tex].
Solução elaborada pelo COM Todos pela Matemática, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
A peça escolhida foi a peça constituída de [tex]6[/tex] em um lado e [tex]4[/tex] no outro.
Consideremos que os números da peça sejam [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] (note que cada um deles é menor, ou igual a 6). Então, as expressões que representam as operações orientadas pelo matemágico são:
[tex]\qquad 2(5p+5)+q=74 \implies 10p+10+q=74 \implies 10(p+1)+q =74\,.[/tex]
Isso significa que [tex]q[/tex] é o algarismo das unidades, enquanto o algarismo das centenas é dado por [tex]p+1[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube: Todos pela Matemática.