Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Dado um quadrado qualquer, construa um retângulo de área equivalente cujos lados estejam na proporção [tex]2:1[/tex].
Justifique sua resposta.
Solução
Seja um quadrado qualquer de lado [tex]l[/tex]. Nesse caso, sua área é dada por [tex]l^2[/tex].
Como queremos um retângulo de igual área, cujos lados estejam na proporção [tex]2:1[/tex], consideremos seus lados como sendo [tex]x[/tex] e [tex]2x[/tex].
Para sabermos o valor de [tex]x[/tex], em função de [tex]l[/tex], basta resolvermos a equação
[tex]\qquad\qquad l^2=2x^2[/tex],
o que resulta (lembre que [tex]x[/tex] deve ser positivo) em
[tex]\qquad\qquad x=\dfrac{l\sqrt{2}}{2}[/tex].
Logo, o outro lado do retângulo deve ser [tex]2x=l\sqrt{2}[/tex].
Passemos, então, à construção.
- Considere o quadrado [tex]ABCD[/tex]. Seja [tex]a[/tex] a semirreta com origem em A e passando por B.
- Com centro em A, definimos a circunferência [tex]c[/tex] de raio [tex]AC[/tex].
- Seja [tex]M[/tex] o ponto médio de [tex]AC[/tex].
- Com o centro em A novamente, definimos a circunferência [tex]d[/tex] de raio AM. Seja [tex]P[/tex] o ponto de intersecção de [tex]c[/tex] com [tex]a[/tex] e [tex]R[/tex], o ponto de intersecção de [tex]d[/tex] com o lado AD do quadrado.
- Por [tex]P[/tex], trace uma perpendicular ([tex]e[/tex]) à semirreta [tex]a[/tex] e, por [tex]R[/tex], trace uma perpendicular ([tex]f[/tex]) ao lado [tex]AB[/tex] do quadrado.
- Seja [tex]Q[/tex] a intersecção de [tex]e[/tex] com [tex]f[/tex].
- O quadrilátero [tex]APQR[/tex] é, então, o retângulo desejado.
Convença-se da razão pela qual esta construção é válida, independente do lado inicial do quadrado
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Testando a solução
Você pode utilizar o applet abaixo para acompanhar a construção, quantas vezes você quiser!
Basta seguir as instruções.
Instruções:
1) Para acompanhar automaticamente a construção selecione o tempo entre os passos e clique na setinha, na parte inferior do applet.
2) Para acompanhar manualmente a construção, utilize as setinhas adequadas, na parte inferior do applet.
3) Para voltar para a configuração inicial, é só clicar nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
1) Para acompanhar automaticamente a construção selecione o tempo entre os passos e clique na setinha, na parte inferior do applet.
2) Para acompanhar manualmente a construção, utilize as setinhas adequadas, na parte inferior do applet.
3) Para voltar para a configuração inicial, é só clicar nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
OBMEP_ dl, criado com o GeoGebra