Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Qual o menor número natural ímpar que possui exatamente 15 divisores positivos?
Solução
Seja [tex]N[/tex] um número natural cuja decomposição em fatores primos é mostrada a seguir:
[tex]\qquad\qquad N = {p_1}^{n_1} \cdot {p_2}^{n_2} \cdot \ldots \cdot {p_k}^{n_k}[/tex].
Observe dois fatos:
- Todo divisor [tex]d[/tex] de [tex]N[/tex] é da forma [tex]d = {p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \ldots \cdot {p_k}^{a_k}[/tex], na qual [tex]a_i \in \{0,\, 1,\, 2,\, \ldots\, , n_i\}[/tex] para todo [tex]i[/tex] inteiro de [tex]1[/tex] a [tex]k[/tex].
- Pelo princípio multiplicativo, há [tex](n_1 + 1)\, \cdot\,(n_2 + 1)\, \cdot \,\ldots \, \cdot (n_k + 1)[/tex] divisores positivos de [tex]N[/tex].
No problema específico temos que todos os fatores primos de [tex]N[/tex] são diferentes de [tex]2[/tex], já que [tex]N[/tex] é ímpar. Só há dois modos de obtermos 15 como um produto de naturais: [tex]1 \cdot 15[/tex] e [tex]3 \cdot 5[/tex] (a menos de acréscimos de fatores [tex]1[/tex]).
- No primeiro caso, teremos apenas um primo na decomposição de [tex]N[/tex], ou seja, [tex]N = {p_1}^{14}[/tex]. Para minimizar este número, basta tomar [tex]p_1 = 3[/tex]. Assim, teríamos [tex]N = 3^{14}[/tex].
- No segundo caso, teremos dois fatores primos distintos na decomposição de [tex]N[/tex], ou seja, [tex]N = {p_1}^{2} \cdot {p_2}^{4}[/tex]. Para minimizar este número basta, tomar [tex]p_1 = 5[/tex] e [tex]p_2 = 3[/tex]. Assim, teríamos [tex]N = 5^2 \cdot 3^4 = 2025[/tex].
Como [tex]2025\lt 3^{14}[/tex], temos, portanto, que [tex]2025[/tex] é o menor número natural ímpar que possui exatamente [tex]15[/tex] divisores positivos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.