Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Qual o menor número natural pelo qual devemos dividir [tex]2015^{2015}[/tex] a fim de que o quociente seja um quadrado perfeito?
Avalie o mesmo problema para [tex]2016^{2016}[/tex] e para [tex]2023^{2023}[/tex].
Solução
- Observe que
[tex]\quad 2015^{2015} = 2015^{2014} \times 2015 = (2015^{1007})^2 \times 5 \times 13 \times 31[/tex],
logo o menor número pelo qual devemos dividir [tex]2015^{2015}[/tex] para que o quociente seja um quadrado perfeito é o próprio [tex]2015[/tex]. - No caso de [tex]2016^{2016}[/tex], como ele próprio já é um quadrado perfeito [tex]((2016^{1008})^2)[/tex], o menor número pelo qual devemos dividi-lo é [tex]1[/tex].
- Para o terceiro e último caso, temos
[tex]\quad \begin{align*} 2023^{2023}= 2023^{2022} \times 2023 &= (2023^{1011})^2 \times 7 \times 17 \times 17\\
& = (2023^{1011} \times 17)^2 \times 7 \end{align*}[/tex],
logo o menor número pelo qual precisamos dividir a fim de que o quociente seja um quadrado perfeito é [tex]7[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o COM Todos pela Matemática.