Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Apresente o resultado da soma infinita
[tex]\quad \quad S=1+2x+3x^2+4x^3+…[/tex],
para qualquer número real [tex]x[/tex] tal que [tex]-1<x<1[/tex].
Solução
Note que a soma
[tex]\qquad \qquad S=1+2x+3x^2+4x^3+…[/tex]
pode ser reescrita como
[tex]\;S=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5…)+(x+x^2+x^3+x^4+x^5…)+\\
\;\qquad +(x^2+x^3+x^4+x^5…)+ (x^3+x^4+x^5…)+… =[/tex]
[tex]\;S= 1(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots )+x(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots)+\\
\;\qquad +x^2(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots)+\\
\;\qquad + x^3(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots) +\\
\;\qquad +x^4(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots)+\dots[/tex]
[tex]\;S=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots)[/tex]
[tex]\;S=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots)^2[/tex]
Observe, agora, que
[tex]\qquad \qquad 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots[/tex]
é a soma de uma P.G. infinita, com razão entre [tex]-1[/tex] e [tex]1[/tex], já que [tex]-1<x<1[/tex]; assim,
[tex]\qquad \qquad 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\dots=\dfrac{1}{1-x}[/tex].
Portanto,
[tex]\quad S= 1+2x+3x^2+4x^3+…=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5…)^2=\dfrac{1}{(1-x)^2}[/tex]
Observação: Quando lidamos com somas infinitas, isto é, “somas de infinitos números”, nem sempre podemos utilizar propriedades que utilizamos sem problemas em somas finitas; por exemplo, agrupar parcelas em uma soma.
Porém, existe um teorema que nos garante que se uma soma infinita tem como resultado um número e se suas parcelas forem todas positivas, então podemos trocar parcelas de lugar, agrupá-las, etc.
Observe que o enunciado diz para apresentar o resultado da soma infinita, então temos liberdade de utilizarmos as propriedades que utilizamos nas manipulações que fizemos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.