Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Um rádio relógio (como o mostrado na figura abaixo) surtou e, após ter sido reiniciado, teve os filamentos que compõem os caracteres indicativos da hora assim religados:
- 2 deles para o primeiro caractere,
- 5 deles para o segundo caractere,
- 5 para o terceiro caractere
- 6 para o quarto caractere.
Se eles foram reativados aleatoriamente, calcule a probabilidade para que o rádio relógio apresente exatamente a hora mostrada na figura, 13:56.
Observe que cada um dos quatro caracteres é composto por 7 filamentos.
Solução
- Note que, para o primeiro caractere, existem [tex]7[/tex] possibilidades para reativar o primeiro filamento e [tex]6[/tex] possibilidades para o segundo. Pelo princípio multiplicativo, resulta em [tex]7 \times 6 = 42[/tex] possibilidades, mas considerando que a ordem com que eles são ligados não faz diferença, dividimos o resultado por [tex]2[/tex], ou seja, [tex]21[/tex] possibilidades, das quais apenas uma nos interessa, a saber, a que forma o número [tex]1[/tex]. Assim, a probabilidade de que seja aceso exatamente o número [tex]1[/tex] no primeiro caractere é [tex]\frac{1}{21}[/tex].
- De modo análogo, para o segundo caractere, teremos [tex]7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520[/tex], mas agora dividido por [tex]5!=120[/tex] já que a ordem com que são religados não interessa (observe que a mesma estratégia poderia ser pensada para os filamentos que não são religados e o resultado seria o mesmo). Logo, são [tex]\frac{2520}{120}=21[/tex] possibilidades, de modo que apenas uma nos interessa, ou seja, a probabilidade é [tex]\frac{1}{21}[/tex].
- Da mesma forma, teremos [tex]\frac{1}{21}[/tex] para o terceiro caractere e [tex]\frac{1}{7}[/tex] para o quarto caractere.
Então, uma vez mais pelo princípio multiplicativo, a probabilidade de que apareça exatamente a hora indicada é
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{21} \times \dfrac{1}{21} \times \dfrac{1}{21} \times \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{64827}[/tex].
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