Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Dois números naturais não primos entre si, mas um deles sendo primo, são tais que a soma do quadrado do [tex]mdc[/tex] com o quadrado do [tex]mmc[/tex] entre eles é [tex]4394[/tex].
Determine estes números.
Solução
Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] os números procurados, supondo que [tex]a[/tex] seja o primo.
Como [tex]b[/tex] não é primo com [tex]a[/tex], então [tex]mdc (a,b) \ne 1[/tex], ou seja, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] têm um divisor comum diferente de [tex]1[/tex].
Mas [tex]a[/tex]é primo e portanto [tex]1[/tex]e [tex]a[/tex] são os seus únicos divisores, assim a única possibilidade para que [tex]mdc (a,b) \ne 1[/tex]é é que [tex]mdc (a,b)=a[/tex].
Neste caso, [tex]a[/tex] é divisor de [tex]b[/tex], ou seja[tex]b=aq[/tex], para algum número natural [tex]q[/tex].
Mas se [tex]mdc (a,b) = a[/tex], então [tex]mmc (a,b) = b[/tex] e aí a soma dos quadrados do [tex]mdc[/tex] e do [tex]mmc[/tex] fica representada por [tex]a^2 + b^2 = 4394[/tex].
Assim, temos que
[tex]\qquad 4394=a^2 + b^2 = a^2 + a^2 \cdot q^2= a^2 (1+q^2)[/tex]
e como [tex]4394=13^3 \cdot 2[/tex], então
[tex]\qquad a^2 + a^2 \cdot q^2= a^2 (1+q^2)=4394=13^2 \cdot 26 = 13^2\cdot (1+5^2)[/tex].
Logo, os números são [tex]a=13[/tex] e [tex]b=13 \cdot 5 = 65.[/tex]
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