Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Sejam [tex]a_1, \,a_2, \, \, \ldots \, \,,\, a_n[/tex] números reais positivos cujo produto é 1.
Prove que [tex](1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \, \ldots \, \cdot (1 + a_n) \geq 2^n[/tex].
Solução
Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica temos
[tex]\qquad \dfrac{1 + a_i}{2} \geq \sqrt{1 \cdot a_i} [/tex],
ou seja,
[tex]\qquad 1 + a_i \geq 2\sqrt{a_i}[/tex], para cada inteiro [tex]i[/tex], [tex]1\le i\le n[/tex].
Multiplicando membro a membro as [tex]n[/tex] desigualdades obtidas, quando tomamos [tex]i = 1, \,2,\, \ldots,\,n[/tex], temos
[tex]\qquad (1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \, \ldots \, \cdot (1 + a_n) \geq 2\sqrt{a_1} \cdot 2\sqrt{a_2} \cdot \ldots \cdot 2\sqrt{a_n}[/tex]
[tex]\qquad\qquad \Leftrightarrow (1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \, \ldots \, \cdot (1 + a_n) \geq 2^n \sqrt{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}[/tex]
[tex]\qquad\qquad\Leftrightarrow (1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \, \ldots \, \cdot (1 + a_n) \geq 2^n \sqrt{1} = 2^n[/tex].
Assim, de fato, [tex](1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \, \ldots \, \cdot (1 + a_n) \geq 2^n[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.