Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Uma escola possui 30 comissões formadas por uma mesma quantidade de alunos e que se destinam a ajudar na gestão da escola.
Se cada aluno participa exatamente de duas comissões e cada duas comissões possuem apenas um membro em comum, determine:
(a) o número de alunos da escola;
(b) o número de membros de uma comissão.
Solução
Seja [tex]v[/tex] o número de membros de uma comissão e [tex]n[/tex] o número de alunos da escola. Ordenemos os grupos aleatoriamente.
- No primeiro grupo temos [tex]v[/tex] participantes que não participaram de grupos anteriores,
- no segundo temos [tex]v-1[/tex] membros que não participam de grupos anteriores,
- no terceiro grupo temos [tex]v-2[/tex] membros que não participam de grupos anteriores,
- e assim sucessivamente, até que no último grupo não teremos mais membros que não participam de grupos anteriores.
Temos
[tex]\qquad n = v + v -1 + v-2 + \ldots + 1 + 0[/tex]
e como há 30 grupos, devemos ter 30 parcelas nessa adição, logo [tex]v = 29[/tex].
Assim, [tex]n = \dfrac{29 \cdot 30}{2} = 435[/tex] alunos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.