Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990.
Qual é o menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3?
Solução 1
Seja [tex]x[/tex] tal número.
Como [tex]x[/tex] é múltiplo de [tex]1998[/tex], ele tem que ser par e, já que é formado só por [tex]3[/tex]’s e [tex]0[/tex]’s, obrigatoriamente seu último algarismo é [tex]0[/tex].
Sabemos também que [tex]x=1998k=2\cdot 3^3\cdot37\cdot k[/tex] para algum inteiro positivo [tex]k[/tex]. Portanto, [tex]x/3=2\cdot 9\cdot 37\cdot k[/tex], ou seja, [tex]x/3[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex].
Note que [tex]x/3[/tex] deverá um número formado apenas por [tex]0[/tex]’s e [tex]1[/tex]’s. Tendo isso em vista, fica claro que, para ser múltiplo de [tex]9[/tex], [tex]x/3[/tex] terá no mínimo nove [tex]1[/tex]’s e um [tex]0[/tex] no último algarismo. Logo o menor valor para [tex]x/3[/tex] é [tex]1111111110[/tex] e, então, [tex]x=3333333330[/tex].
Agora basta verificar que [tex]x[/tex] é múltiplo de [tex]37[/tex]: [tex]x/37=90090090.[/tex]
Assim, [tex]x=3333333330[/tex].
Solução elaborada pelo COM Os Nóbregas, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Inicialmente observe que [tex]1998=2\cdot 3^3 \cdot 37[/tex].
Um número formado apenas pelos algarismos [tex]0[/tex] e [tex]3[/tex] é múltiplo de [tex]3^3[/tex] se, e somente se, o número de algarismos [tex]3[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex], pois ao dividi-lo por [tex]3[/tex], obtemos um número que possui apenas os algarismos [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex], que deve ser múltiplo de [tex]9[/tex], o que ocorre se, e somente se, o número de algarismos [tex]1[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex].
Assim, o número desejado deve ter pelo menos nove algarismos [tex]3[/tex] e deve terminar com [tex]0[/tex], por ser par.
O menor número com essas propriedades é [tex]3333333330[/tex], múltiplo de [tex]1998[/tex] porque é par, múltiplo de [tex]3^3[/tex] e de [tex]37[/tex], por ser múltiplo de [tex]111[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube: Os Nóbregas.