Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Uma lanchonete vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo-se um concentrado desta fruta em água. As proporções são de 1 parte de concentrado para 3 de água, no caso do suco, e de 1 parte de concentrado para 6 de água, no caso de refresco.
O refresco também poderia ser fabricado diluindo x partes de suco em y partes de água.
Determine a razão de x para y.
Adaptado de UERJ/93.
Solução 1
Sejam
C: uma parte de concentrado;
A: uma parte de água;
R: uma parte de refresco;
S: uma parte de suco.
Com os dados do problema podemos escrever que:
[tex]1C+3A=4S[/tex]………………………………….Equação (1)
[tex]1C+6A=7R[/tex]………………………………….Equação (2)
Da equação [tex](2)[/tex] temos que:
[tex](1C+3A)+3A=7R[/tex],
o que implica que
[tex]4S+3A=7R[/tex],
donde
[tex]x=4[/tex] e [tex]y=3[/tex].
Logo, esta é a razão solicitada:
[tex]\boxed{\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3}}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Em um certo volume [tex]V_s[/tex] de suco, temos que
[tex]V_s = V_a + V_c[/tex],
onde [tex]V_a \,[/tex] e [tex]\,V_c[/tex] indicam, respectivamente, os volumes de água e de concentrado existentes no suco.
Além disso, o suco é obtido misturando-se três medidas de água para uma medida de concentrado [tex]\left( V_a = 3V_c \right)[/tex], portanto
[tex]V_s = V_a + \frac{1}{3} V_a\,[/tex]
ou seja,
[tex] V_a = \frac{3}{4} V_s[/tex].
Dispondo de suco, basta dobrar a quantidade de água para obtermos refresco, já que este é obtido quando se acrescenta uma parte de concentrado para seis partes de água.
Deste modo, para um volume [tex]x=V_s[/tex] de suco acrescentamos [tex]y=\frac{3}{4} V_s[/tex] de água; sendo, então, esta a razão solicitada:
[tex]\boxed{ \frac{x}{y} =\frac{V_s}{\frac{3V_s}{4}} = \frac{4}{3}}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.