Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Quais os quatro últimos algarismos de [tex]5^{1000}?[/tex]
Solução 1
Calculando algumas potências de 5 temos:
[tex]5^1 =5[/tex]
[tex]5^2 =25[/tex]
[tex]5^3 =125[/tex]
[tex]5^4 =625[/tex]
[tex]5^5 =3.125[/tex]
[tex]5^6 =15\,625[/tex]
[tex]5^7 =78\,125[/tex]
[tex]5^8 = 390\,625[/tex]
[tex]5^9 =1.953\,125[/tex]
[tex]5^{10} =9\,765\,625[/tex]
[tex]5^{11} =48\,828\,125[/tex]
[tex]5^{12} =244\,140\,625[/tex].
Notamos que os três últimos algarismos a partir das centenas dependem do expoente, se for par é 625, se for impar é 125. Sendo assim, os três últimos algarismos são 625 por ser uma potência de expoente par.
Observamos também que existe uma sequência que se repete de 4 em 4, para o quarto algarismo, que é: 3,5,8 e 0 que está relacionada com o expoente. Assim, basta dividir o expoente por 4 e observar o resto.
- Se for 1, o quarto algarismo é 3.
- Se for 2, o quarto algarismo é 5.
- Se for 3, o quarto algarismo é 8.
- Se for 0, o quarto algarismo é 0.
Como 1000 dividido por 4 deixa o resto zero, concluímos que o quarto algarismo é o zero.
Portanto [tex]5^{1000}= …..0625[/tex].
Solução elaborada pelo COM Todos pela Matemática, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Vamos calcular algumas potências de 5. Observando o que acontece apenas com os quatro últimos dígitos, podemos responder a essa questão.
[tex]5^2 = 25[/tex], [tex]5^3 = 125[/tex], [tex]5^4 = 625[/tex], [tex]5^5 = 3125[/tex], [tex]5^6 = … 5625[/tex], [tex]5^7 = … 8125[/tex], [tex]5^8 = … 0625[/tex], [tex]5^9 = … 3125[/tex].
Observe que os quatro últimos algarismos de [tex]5^9[/tex] e [tex]5^5[/tex] são os mesmos.
Essa periodicidade dos quatro últimos algarismos tem um ciclo de 4 potências.
Podemos afirmar que:
[tex]5^5, 5^9, 5^{13}, 5^{17}, …[/tex] têm como últimos algarismos [tex]3125[/tex];
[tex]5^6, 5^{10}, 5^{14}, 5^{18}, …[/tex] têm como últimos algarismos [tex]5625[/tex];
[tex]5^7, 5^{11}, 5^{15}, 5^{19}, …[/tex] têm como últimos algarismos [tex]8125[/tex] e
[tex]5^8, 5^{12}, 5^{16}, 5^{20}, …[/tex] têm como últimos algarismos [tex]0625[/tex].
Como [tex]1000[/tex] é múltiplo de [tex]4[/tex] então os últimos quatro algarismos de [tex]5^{1000}[/tex] são os mesmos de [tex]5^8[/tex] que são [tex]0625[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.