.Problema: Nem tudo é o que parece

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Sobre o número [tex]n = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} – 2)\sqrt{\sqrt{3} + 2}[/tex], são feitas as seguintes afirmações:

• I. [tex]n^2=4[/tex].
• II. [tex]n[/tex] é um número inteiro e negativo.
• III. Existem dois valores possíveis para [tex]n[/tex].

Qual (quais) está (estão) correta(s)?

Solução

• Para a afirmação I, temos que
  [tex]\qquad n^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2(\sqrt{3}-2)^2 (\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2\\
  \qquad n^2=(6+2\sqrt{12} +2)(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)\\
  \qquad n^2=(8+4\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)(-1)=4(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)(-1)\\
  \qquad n^2=4(-1)(-1)=4,[/tex]
  de modo que é VERDADEIRA.
• Para a afirmação II, notemos inicialmente que, se [tex]n^2=4[/tex], as soluções possíveis para [tex]n[/tex] são apenas [tex]2[/tex] e [tex]-2[/tex].
  Além disso, observamos que na apresentação inicial de [tex]n[/tex], ele é expresso como produto de três fatores, sendo dois deles positivos (o primeiro e o último) e um deles (o segundo) negativo, de modo que o produto é, de fato, negativo.
  Logo, [tex]n=-2[/tex] e a afirmação II é também VERDADEIRA.
• Da justificativa anterior decorre, de imediato, que a afirmação III é FALSA.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.