Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Considere [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais não primos entre si, cujo produto é [tex]1470[/tex].
Assim, determine o [tex]mdc(a,b)[/tex] e o [tex]mmc(a,b)[/tex].
Solução
Observe que [tex]1470= 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 7[/tex] e, como o problema não admite que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sejam primos entre si, isso significa que tanto [tex]a[/tex] quanto [tex]b[/tex] devem ter, cada um deles, um [tex]7[/tex] em sua fatoração (do contrário, os números seriam primos entre si).
Posto isso, a distribuição dos demais fatores pode ser de qualquer maneira (convença-se disso), pois todos eles são diferentes um do outro. Por exemplo, poderíamos ter [tex]a=3 \times 7[/tex] e [tex]b=2 \times 5 \times 7[/tex] ou, até, [tex]a= 7[/tex] e [tex]b=2 \times 3 \times 5 \times 7[/tex].
Mas, independente da forma particular de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], como [tex]7[/tex] é o único fator comum dos dois números, temos que o [tex]mdc(a,b)=7[/tex] e, consequentemente, o [tex]mmc(a,b)=2 \times 3 \times 5 \times 7=210[/tex].
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