Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Sejam [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] inteiros positivos.
A divisão de [tex]A[/tex] por [tex]B[/tex] resulta no quociente [tex]Q[/tex] e no resto [tex]R[/tex], [tex]A[/tex], sendo [tex]Q[/tex] e [tex]R[/tex] inteiros não negativos. Mas, se aumentarmos o dividendo [tex]A[/tex] de [tex]9[/tex] unidades, mantendo o mesmo divisor [tex]B[/tex], a divisão dá exata e o quociente aumenta de duas unidades.
Então, qual é o menor valor da soma [tex]A+B[/tex] ?
Solução
Os dados do problema nos garantem que:
| [tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} A \, \, \, \end{array} \begin{array}{|r} \, B \, \, \, \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} R \end{array}\begin{array}{r} \quad Q \end{array}[/tex] |
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} A+9 \, \, \, \end{array} \begin{array}{|r} \, B\qquad \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} \quad 0 \end{array}\begin{array}{r} \, \qquad Q+2 \end{array}[/tex] |
assim, podemos escrever:
[tex]\qquad \qquad A=Q \cdot B+R \qquad \textcolor{#800000}{(i)}\qquad [/tex] e [tex]\qquad A+9=(Q+2) \cdot B \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex].
Substituindo o valor de [tex]A[/tex] obtido em [tex](i)[/tex] em [tex](ii)[/tex], obtemos que:
[tex]\qquad 9=2B-R [/tex]
ou, ainda,
[tex]\qquad R=2B-9 \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}.[/tex]
Além disso, [tex]R[/tex] é resto da primeira divisão e, também, um número positivo, logo devemos ter [tex] \, 0\lt R\lt B \, [/tex]. Assim, por [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], [tex] \, 0\lt 2B-9\lt B \, [/tex], donde
- [tex]4,5\lt B \lt 9\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex].
Como queremos o menor valor possível para [tex]A+B[/tex], calculemos essa soma, utilizando [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]:
[tex]\qquad A+B=((Q+2) \cdot B-9)+B= B\cdot (Q+2)-9+B=BQ+3B-9[/tex]
e, assim
- [tex] \, A+B=B\cdot (Q+3)-9[/tex].
Portanto, [tex] \, A+B[/tex] será mínimo quando [tex]B[/tex] e [tex]Q[/tex] forem mínimos, o que ocorre para [tex] \, B=5 \, \, \, [/tex] e [tex] \, Q=1 \, \, [/tex] (veja [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] e lembre que [tex] \, Q \, [/tex] é inteiro positivo).
Logo [tex]A+B[/tex] é no mínimo [tex]5\cdot (1+3)-9=11[/tex].
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