.Problema de Gincana: Números e seus algarismos

Problema


O quadrado da soma dos algarismos de um número [tex]A[/tex] de dois dígitos é igual a soma dos algarismos de [tex]A^2[/tex].
Quantos números de dois dígitos satisfazem essa condição?

Solução


Inicialmente note que [tex]A^2 \leq 99^2 = 9801 < 9999[/tex]; assim:

  • a soma dos algarismos de [tex]A^2[/tex] é menor do que [tex]9 \cdot 4 = 36[/tex].

Como a soma dos algarismos de [tex]A^2[/tex] é igual ao quadrado da soma dos algarismos de [tex]A[/tex], então

  • a soma dos algarismos de [tex]A[/tex] é menor do que [tex]\sqrt{36}=6[/tex].

Temos, então, quinze números de dois algarismos nessas condições:

  • [tex]10, \, 11, \, 12, \, 13, \, 14, \, 20, \, 21, \, 22, \, 23, \, 30, \, 31, \, 32, \, 40, \, 41, \, 50[/tex].

Desses, os únicos que satisfazem as condições do problema são:

  • [tex]10, \, 11, \, 12, \, 13, \, 20, \, 21, \, 22, \, 30, \, 31[/tex]

e, portanto, temos nove números.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Primeira Gincana de 2015 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Média

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