Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Simplifique a expressão [tex]\sqrt{sen^4 x + 4 cos^2 x}-\sqrt{cos^4 x + 4 sen^2 x}[/tex]
Solução
Observe que:
[tex]\qquad \sqrt{sen^4 x + 4 cos^2 x}-\sqrt{cos^4 x + 4 sen^2 x}=[/tex]
[tex]\qquad = \sqrt{sen^4 x + 4 (1 – sen^2 x)}-\sqrt{cos^4 x + 4 (1-cos^2 x)}[/tex]
[tex]\qquad = \sqrt{sen^4 x – 4 sen^2 x + 4}-\sqrt{cos^4 x-4 cos^2 x + 4}[/tex]
[tex]\qquad = \sqrt{(2-sen^2 x)^2}-\sqrt{(2- cos^2 x)^2}[/tex]
[tex]\qquad = |2-sen^2 x|-|2-cos^2 x|[/tex].
Como [tex]-1 \leq senx \, , \, cosx \leq 1[/tex], então [tex]0 \leq sen^2x \, , \, cos^2x \leq 1 < 2[/tex], donde [tex]0 < 2-sen^2x \, \, [/tex] e [tex] \, \, 0 < 2-cos^2x[/tex].
Com isso, [tex]|2 – sen^2 x|=2 – sen^2 x \, \, [/tex] e [tex] \, \, |2 – cos^2 x|=2 – cos^2 x \, \, [/tex] e, então,
[tex]\qquad \sqrt{sen^4 x + 4 cos^2 x}-\sqrt{cos^4 x + 4 sen^2 x}= 2-sen^2 x-2 + cos^2 x = cos(2x)[/tex].
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