Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Prove que para quaisquer reais positivos [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c~[/tex] temos [tex](a + b) \cdot (b + c) \cdot (c + a) \geq 8abc[/tex].
Lembretes
Sejam [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n[/tex] números reais positivos.
(1) Chamamos de Média Aritmética dos números [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots a_n[/tex] o número assim definido:
[tex]\boxed{MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}}.[/tex]
(2) Chamamos de Média Geométrica dos números [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n[/tex] o número assim definido:
[tex]\boxed{MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}}.[/tex]
(3) Propriedade importante: [tex]\boxed{MA \geqslant MG}[/tex], ou seja,
[tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}}.[/tex]
(Para aprender um pouco mais sobre médias, clique AQUI)
Solução
Utilizando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, obtemos que:
- [tex]\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\\
a+b \geq 2\sqrt{ab}; \qquad \color{#800000}{(i)}[/tex] - [tex]\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc}\\
b+c \geq 2\sqrt{bc}; \qquad \color{#800000}{(ii)}[/tex] - [tex]\dfrac{c+a}{2} \geq \sqrt{ca}\\
c+a \geq 2\sqrt{ca}. \qquad \color{#800000}{(iii)}[/tex]
Como [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são positivos, multiplicando membro a membro as desigualdades [tex]\color{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\color{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\color{#800000}{(iii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad (a+b) \cdot (b + c) \cdot (c + a) \geq 8\cdot\sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca}[/tex]
[tex]\qquad (a+b) \cdot (b + c) \cdot (c + a) \geq 8\sqrt{a^2b^2c^2}[/tex]
[tex]\qquad (a+b) \cdot (b + c) \cdot (c + a) \geq 8 abc\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.