Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Considere o triângulo [tex]ABC[/tex] da figura.
Sejam [tex]D[/tex] um ponto de [tex]\overline{BC}[/tex] tal que [tex]\dfrac{BD}{DC} = 2[/tex], [tex]E[/tex] um ponto de [tex]\overline{AC}[/tex] tal que [tex]\dfrac{AE}{EC} = 3[/tex] e [tex]F[/tex] um ponto de [tex]\overline{DC}[/tex] tal que [tex]\dfrac{DF}{FC} = 4[/tex].
Sabendo que a área do triângulo [tex]CEF[/tex] é [tex]1[/tex], determine a área do triângulo [tex]ABC[/tex].
Notações e um Lembrete
✏ Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex], por [tex]\overline{XY}[/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[/tex].
✏ Indicaremos por [tex]S(XYZ)[/tex] a área do triângulo [tex]XYZ[/tex].
✏ Lembrete: Se dois triângulos possuem mesma altura, então suas áreas são proporcionais às medidas de suas bases.
Solução
Utilizando o Lembrete, temos que:
[tex]\qquad \dfrac{S(EDF)}{S(ECF)}=\dfrac{DF}{FC}=4[/tex], logo [tex]S(EDF) = 4 \cdot 1 = 4[/tex];
[tex]\qquad \dfrac{S(DEA)}{S(DEC)}=\dfrac{AE}{EC}=3[/tex], logo [tex]S(DEA) = 3 \cdot (1 + 4) = 15[/tex];
[tex]\qquad \dfrac{S(ABD)}{S(ADC)}=\dfrac{BD}{DC}=2[/tex], logo [tex]S(ABD) = 2 \cdot (1 + 4 + 15) = 40[/tex].
Finalmente,
[tex]\qquad S(ABC) = S(ABD) + S(ADC) = 40 + 20 = 60 [/tex] unidades de área.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.