Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Prove que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + … + \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}[/tex]
é um número inteiro.
Solução 1
Observe que
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}-\sqrt{2}} = \dfrac{1-\sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2}- 1[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1} = \sqrt{4}-\sqrt{3}[/tex]
. . .
Deste modo,
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + … + \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} =[/tex]
[tex]\qquad = \sqrt{2}-1 + \sqrt{3}-\sqrt{2} + \sqrt{4}-\sqrt{3} + \ldots + \sqrt{99}-\sqrt{98} +\sqrt{100}-\sqrt{99}[/tex]
[tex]\qquad = \sqrt{100}-1 = 9.[/tex]
Solução elaborada pelo COM MIRIM APRENDIZ, com formatação dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Seja
[tex]\qquad S = \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + … + \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}[/tex]
e note que
[tex]\qquad\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex].
Deste modo,
[tex]\qquad S =\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right) + \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right) + \left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right) + … + \left(\sqrt{99}-\sqrt{98}\right) +\left( \sqrt{100}-\sqrt{99}\right)[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad S = \sqrt{100}-\sqrt{1} = 10-1 = 9.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube MIRIM APRENDIZ.