Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Resolver o seguinte sistema de equações:
[tex]\qquad \begin{cases}x_1(x_1−1)=x_2−1\\ x_2(x_2−1)=x_3−1_{~_{~_{~_{~_{~_{~}}}}}}\\ \cdots \\ x_n(x_n−1)=x_1−1\end{cases}[/tex].
Solução
- Efetuando as multiplicações indicadas em cada equação, podemos reescrever o sistema original como:
[tex]\qquad \begin{cases}x_1^2-x_1=x_2-1_{~_{~_{~_{~_{~_{~}}}}}}\\ x_2^2-x_2=x_3-1\\ \cdots \\ x_n^2-x_n=x_1-1\end{cases}[/tex].
- Somando todas as equações e passando tudo para o primeiro membro, obtemos:
[tex]\qquad (x_1^2-2x_1+1)+(x_2^2-2x_2+1)+\ldots +(x_n^2-2x_n+1)=0[/tex],
[tex]\qquad (x_1-1)^2+(x_2-1)^2+ \ldots+(x_n-1)^2=0[/tex].
- Observe que as parcelas da soma que aparece no lado esquerdo da última igualdade são todas não negativas; assim, para que a soma seja nula, todas as parcelas devem ser nulas. Portanto:
[tex]\qquad (x_1-1)^2=(x_2-1)^2= \ldots=(x_n-1)^2=0[/tex],
[tex]\qquad (x_1-1)=(x_2-1)= \ldots=(x_n-1)=0[/tex].
- Consequentemente:
[tex]\qquad x_1=x_2=\ldots =x_n=1[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.