Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Calcular o resto da divisão de [tex]\sqrt{1111111111-22222\,}[/tex] por [tex]9[/tex], sem efetuar os cálculos diretamente.
Solução
Inicialmente, observe que [tex]~\boxed{1111111111=\dfrac{10^{10}-1}{9}}\,[/tex] e [tex]\, \boxed{11111=\dfrac{10^{5}-1}{9}}[/tex]. Assim:
[tex]~~\\
\qquad \sqrt{1111111111-22222}=\sqrt{1111111111-2\cdot (11111)}=\\
~[/tex]
[tex]\qquad =\sqrt{\dfrac{10^{10}-1}{9}-2\cdot \dfrac{10^{5}-1}{9}}=\sqrt{\dfrac{10^{10}-1-2\cdot 10^5+2}{9}}=\\
~[/tex]
[tex]\qquad =\sqrt{\dfrac{(10^5-1)^2}{9}}=\dfrac{10^5-1}{3}=\dfrac{99999}{3}=33333[/tex].
Como o resto da divisão de [tex]33333[/tex] por [tex]9[/tex] é o resto da divisão da soma dos algarismos de [tex]33333[/tex] por [tex]9[/tex], ou seja, de [tex]15[/tex] por [tex]9[/tex], então o resto procurado é [tex] \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube MIRIM APRENDIZ.