Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Em uma certa progressão geométrica (PG) o primeiro, o décimo e o trigésimo termos são números inteiros positivos.
O vigésimo termo também é um número inteiro? Justifique sua resposta.
Solução
Sejam [tex]a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots[/tex] os termos da progressão geométrica em questão e seja [tex]q[/tex] a razão dessa PG.
Sabemos que [tex] \, a_1 \, [/tex], [tex] \, a_{10}=a_1 q^9 \, [/tex] e [tex] \, a_{30}=a_1 q^{29} \, [/tex] são inteiros positivos; desse modo, [tex]q^9 \, [/tex] e [tex] \, q^{29} \, [/tex] são números racionais positivos, pois são razões de números inteiros positivos: [tex]q^9=\dfrac{a_{10}}{a_1} \, [/tex] e [tex] \, q^{29}=\dfrac{a_{30}}{a_1}[/tex].
Sendo assim, [tex]q^2=\dfrac{q^{29}}{(q^9)^3}[/tex] é um número racional positivo e o mesmo ocorre com [tex]q=\dfrac{q^9}{(q^2)^4}[/tex].
Sendo um número racional positivo, podemos escrever [tex]q[/tex] na forma [tex]q=\dfrac{m}{n}[/tex], com [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] números inteiros positivos primos entre si.
Como [tex]a_{30}[/tex] é inteiro e [tex]a_{30}=\dfrac{a_1 m^{29}}{n^{29}}[/tex], então [tex]a_1[/tex] é divisível por [tex]n^{29}[/tex] e, consequentemente, também divisível por [tex]n^{19}[/tex], já que [tex]n^{19}[/tex] divide [tex]n^{29}[/tex].
Desse modo, [tex]a_{20}=a_1 q^{19}=a_1 \dfrac{m^{19}}{n^{19}}=\dfrac{a_1}{n^{19}}m^{19}[/tex] é um número positivo inteiro.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.