Problema
Se [tex]Q[/tex] é um quadrado formado por [tex]2012 \times 2012[/tex] quadrados de aresta unitária, uma diagonal de [tex]Q[/tex] passa pelo interior de [tex]2012[/tex] quadrados unitários. Se [tex]R[/tex] é um retângulo formado por [tex]2012 \times 2015[/tex] quadrados de aresta unitária, por quantos quadrados passará uma diagonal de [tex]R[/tex]?
Solução
Se posicionarmos o retângulo nos eixos coordenados, este terá por vértices os pontos [tex](0,0), (2015, 0), (2015, 2012)[/tex] e [tex](0, 2012)[/tex]. Uma diagonal do retângulo é dada por [tex]y=\dfrac{2012}{2015}x[/tex], com [tex]0 \leq x \leq 2015[/tex].
Observe que a diagonal entra em um novo quadrado cada vez que cruza uma linha vertical do tipo [tex]x=a[/tex], com [tex]a=1, 2, 3, \ldots , 2014[/tex] ou uma linha horizontal da forma [tex]y=b[/tex], com [tex]b=1, 2, 3, \ldots , 2011[/tex]. Como [tex]2012[/tex] e [tex]2015[/tex] são primos entre si, a diagonal do retângulo nunca passará por um ponto com coordenadas inteiras.
Então, começando pelo quadrado unitário no vértice [tex](0,0)[/tex], a diagonal cruzará [tex]2014[/tex] quadrados na horizontal e outros [tex]2011[/tex] quadrados na vertical, perfazendo um total de [tex]1+2014+2011=4026[/tex] quadrados unitários cruzados no interior do retângulo.
Que tal verificar que o mesmo ocorre com qualquer retângulo com lados [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] primos entre si ?
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .
Testando a solução
Você pode utilizar este applet para fazer alguns casos particulares da afirmação de que a conclusão do problema ocorre para qualquer retângulo com lados [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] primos entre si.
O applet irá abrir em outra janela.
Bons estudos!