Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Se expandirmos totalmente o número [tex]10 \ 000^{9 \ 999}[/tex], quantos zeros teremos ?
Solução 1
Podemos observar que
[tex]\qquad 10^1 = 10, \ 10^2 = 100, \ 10^3 = 1000, \,\\
\qquad 100^1 = 100, \ 100^2 = 10000, \, 100^3 = 1000000, \, \\
\qquad 1000 ^1 = 1000 , \ 1000^2 = 1000000, \,1000^3 = 1000000000. [/tex]
Perceba que a quantidade de zeros de cada resultado apresentado é a quantidade de zeros da base multiplicada pelo expoente. Por exemplo:
- em [tex]10^2[/tex], temos uma unidade de zero vezes dois, que resulta em [tex]1[/tex] seguido de dois zeros, ou seja, [tex] 100;[/tex]
- em [tex]\ 1000^2 [/tex], temos três unidades de zero vezes dois, que resulta em [tex]1[/tex] seguido de seis zeros, ou seja, [tex] 1000000.[/tex]
Então, vamos aplicar o mesmo princípio para os números grandes, no caso [tex]10000^{9999}[/tex]: temos [tex]4[/tex] unidades de zeros e o expoente é [tex]9999[/tex].
Pela dedução, teremos [tex]4[/tex] unidades de zeros vezes [tex]9999[/tex], resultando em uma quantidade de [tex]39 \ 996[/tex] zeros.
Dessa forma, o algarismo [tex]1[/tex] será seguido de [tex]39 \ 996[/tex] zeros.
Solução elaborada pelo COM Fermatianos, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Como [tex]10 \ 000 = 10^4[/tex], então
[tex]\qquad 10 \ 000^{9 \ 999} = (10^4)^{9 \ 999} = 10^{4 \times 9 \ 999} = 10^{39 \ 996}[/tex].
Desse modo, teremos o algarismo [tex]1[/tex] seguido de [tex]39\,996[/tex] zeros.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.