.Problema de Gincana: Uma certa progressão …

Problema

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Dada uma progressão aritmética [tex](a_1, \, a_2, \, a_3, \, \cdots, \, a_n \, \cdots )[/tex] tal que
[tex]\qquad\qquad a_1+a_2+\cdots+ a_{100}=100\,\,\,[/tex] e [tex]\,\,\,a_{101}+a_{102}+\cdots+ a_{200}=200[/tex],
qual o valor de [tex]a_{2564}-a_{2563}[/tex]?

Solução

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Observe que [tex]a_{2564}-a_{2563}=r[/tex], sendo [tex]r[/tex] a razão da PA. Assim, para determinar a diferença [tex]a_{2564}-a_{2563}[/tex], basta encontrar a razão dessa PA.
Para tanto, consideremos
[tex]\qquad\qquad a_1+a_2+\cdots +a_{100}=100; \qquad\qquad (i) [/tex]
[tex]\qquad\qquad a_{101}+a_{102}+\cdots +a_{200}=200. \qquad\qquad (ii)[/tex]
Fazendo a diferença entre a igualdade [tex](ii)[/tex] e a igualdade [tex](i)[/tex], segue que:
[tex]\qquad(a_{101}-a_1) + (a_{102}-a_2) + (a_{103}-a_3) + … + (a_{200}-a_{100} )=\\
\qquad = 200-100 = 100.[/tex]
Escrevendo cada um dos termos da PA em função de [tex]a_1[/tex], obtemos:
[tex]\;\left[(a_1+100r)-(a_1)]+[(a_1+101r)-(a_1+r)]+[(a_1+102r)-(a_1+2r)\right]+\\
\quad \;+…+\left[(a_1+199r)-(a_1+99r)\right]=100,[/tex]
donde
[tex]\qquad\qquad \underbrace{100r+100r+…+100r}_{100 \, parcelas}=100\\
\qquad\qquad 100 r \cdot 100 = 100\\
\qquad\qquad 100 r = 1.[/tex]
Portanto [tex]r=\boxed{a_{2564} – a_{2563}=0,01}[/tex].

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.