.Problemão: Médias, para que vos quero?

Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)

(b) Se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são reais positivos tais que [tex]a + b =1[/tex], então [tex]\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 + \left(b + \dfrac{1}{b}\right)^2 \geq \dfrac{25}{2}[/tex]

Solução

[tex](a)[/tex] Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, segue que:

[tex]\qquad G\left(\dfrac{x^2}{2}\, , \,\dfrac{y^2}{2}\right) \leq A\left(\dfrac{x^2}{2}\, , \,\dfrac{y^2}{2}\right)[/tex]

[tex]\qquad \sqrt{\dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{y^2}{2}} \leq \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{2}\right)[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{xy}{2} \leq \dfrac{x^2 + y^2}{4}[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{x^2 + y^2}{4} + \dfrac{xy}{2} \leq \dfrac{x^2 + y^2}{4} + \dfrac{x^2 + y^2}{4}[/tex]

[tex]\qquad \left( \dfrac{x}{2}\right)^2 + 2 \cdot \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{y}{2} + \left( \dfrac{y}{2}\right)^2 \leq \dfrac{x^2 + y^2}{2}[/tex]

[tex]\qquad \left( \dfrac{x+y}{2}\right)^2 \leq \dfrac{x^2 + y^2}{2}[/tex]

Ocorrendo a igualdade se, e somente se, [tex]\dfrac{x^2}{2} = \dfrac{y^2}{2}[/tex], ou seja, [tex]x = y[/tex].

[tex](b)[/tex] Usaremos o resultado anterior, tomando [tex]x = a + \frac{1}{a}\, [/tex] e [tex]\, y = b + \frac{1}{b}[/tex]. Assim:

[tex]\qquad \dfrac{\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{b}\right)^2}{2} \geq \left(\dfrac{a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b}}{2}\right)^2.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)[/tex]
Mas [tex]a+b=1[/tex], logo

[tex]\qquad \left(\dfrac{a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b}}{2}\right)^2= \left(\dfrac{1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}\right)^2[/tex]

[tex]\qquad \left(\dfrac{a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4} \cdot \left(1 + \dfrac{a + b}{ab}\right)^2[/tex]

[tex]\qquad \left(\dfrac{a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b}}{2}\right)^2 =\dfrac{1}{4} \cdot \left(1 + \dfrac{1}{ab}\right)^2.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)[/tex]

Por [tex](I)\, [/tex] e [tex]\, (II)[/tex], temos que
[tex]\qquad \dfrac{\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{b}\right)^2}{2} \geq \dfrac{1}{4} \cdot \left(1 + \dfrac{1}{ab}\right)^2.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(III)[/tex]

Pela desigualdade entre as médias geométrica e aritmética, temos que

[tex]\qquad G(a,b) \leq A(a,b) \\
\qquad \sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}[/tex]

[tex]\qquad \qquad ab \leq \dfrac{1}{4}[/tex]

[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{ab} \geq 4[/tex]

[tex]\qquad \qquad 1 + \dfrac{1}{ab} \geq 5[/tex]

[tex]\qquad \qquad \left(1 + \dfrac{1}{ab}\right)^2 \geq 25[/tex]

[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{4} \left(1 + \dfrac{1}{ab}\right)^2 \geq \dfrac{25}{4}. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(IV)[/tex]

Finalmente, a partir de [tex](III)[/tex] e [tex](IV)[/tex], concluímos que

[tex]\qquad \dfrac{\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{b}\right)^2}{2} \geq \dfrac{25}{4}[/tex]

donde

[tex]\qquad \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{b}\right)^2 \geq \dfrac{25}{2}[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.