Problema
Seja [tex]f[/tex] uma função definida no conjunto dos números reais de modo que [tex]f(\frac{x}{3}) = x^2 + x + 1[/tex].
Determine a soma de todos os valores de [tex]z[/tex] para os quais [tex]f(3z) = 7[/tex].
Solução
Sabemos que [tex]f(\frac{x}{3}) = x^2 + x + 1[/tex]; assim, se [tex]\,y = \dfrac{x}{3}\,[/tex], então:
[tex]\qquad f(y) = (3y)^2 + 3y + 1 = 9y^2 + 3y+1[/tex].
Queremos os valores de [tex]z[/tex] para os quais [tex]f(3z) = 7[/tex] e isso é equivalente a determinar os valores de [tex]z[/tex] para os quais [tex]f(3z)-7=0[/tex]; então, vamos lá!
Observe que
[tex]\qquad f(3z)-7=0\\
\qquad \left(9(3z)^2+3(3z)+1\right)-7=0\\
\qquad\left(81z^2+9z+1\right)-7=0\\
\qquad 81z^2+9z-6=0\\
\qquad 3\left(27z^2+3z-2\right)=0\\
\qquad 3(9z-2)(3z+1)=0[/tex]
e os valores de [tex]z[/tex] que satisfazem essa igualdade são
[tex]\qquad z = -\dfrac{1}{3}\, [/tex] e [tex]\, z=\dfrac{2}{9}[/tex].
Assim, os valores que satisfazem a condição exigida são apenas dois e a soma desses dois valores é [tex] \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$-\dfrac{1}{9}$}\,[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Nível C – Questão Fácil